Parution: 01 - 2012

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Tangente Sup 63/64 - Prévoir pour Décider

Sommaire

De la nature des modèles mathématiques
Le jeu d'Eleusis

Dossier: "Prévisions et phénomènes naturels"

Prévoir la pluie et le beau temps
La difficile prévision des séismes
L'équation du temps
Déterminer la course apparente du soleil


Dossier: "Prévision des actions humaine"

Discussions sur un modèle de calcul
Des records ultimes
Modèles chaotique en économie
Prévoir mieux pour vendre plus
Maxwell et la régulation des systèmes


Et aussi

Nouvelle "Le Mentaliste"
En bref
Notes de lecture
Mathématiques récréatives
Cocktail EXO-TIC
Solutions
Erreurs et paradoxes
Ah, les belles preuves!
Bibliographie
Solutions

Parution: 10 - 2011

Tangente Sup 62 - Hypothèse de Riemann

Sommaire

Une introduction à la fonction zêta

Une fonction, une conjecture, un prix : en étudiant la répartition des nombres premiers, Bernhard Riemann a énoncé la fameuse « hypothèse de Riemann ». au¬jourd'hui mise à prix pour un million de dollars.

La contribution de Riemann

L'hypothèse de Riemann est un problème mathématique fondamental dont la solution apporterait un million de dollars à son auteur. C'est entendu. Mais que dit vraiment cette hypothèse, et en quoi concerne-t-elle les nombres premiers ?

Zêta de 1 : si proche de la convergence

La série harmonique, qui définit zêta de un, est divergente. Il suffit pourtant d'en supprimer « quelques » termes pour la rendre convergente. Ce procédé réserve en fait bien des surprises...

Zêta de 2 : zêta des nombres pairs

Le premier calcul exact de zêta(2) remonte à Leonhard Euler. Loin des démonstrations modernes, il s'inspire du calcul sur les racines d'un polynôme. Sa méthode peut toujours s'appliquer dans des occasions similaires, au moins sous la forme d'une heuristique.


Et aussi

En bref et notes de lectures
Belles preuves
Erreurs et paradoxes
Nouvelle : lisez bien l'énoncé
Cocktail EXO-TIC
Mathématiques récréatives
Solutions

Parution: 08 - 2011

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Tangente Sup 61 - Fourier et la chaleur

Sommaire


Une algèbre pour comprendre les structures atomiques

En mathématiques, l'algèbre de Grassmann est une algèbre inhabituelle car son produit, appelé produit de Grassmann ou produit extérieur et noté ^ , est non-commutatif.

Même le feu est régi par les nombres

Jean-Baptiste Joseph Fourier est connu pour avoir introduit une équation aux dérivées partielles fondamentale : l'équation de la chaleur. Il peut être considéré comme le fondateur de la physique mathématique.


Et aussi :

En bref et notes de lectures
Mathématiques récréatives
Histoire d'eau
Cocktail EXO-TIC
Belles preuves
Erreurs et paradoxes
Solutions

Parution: 04 - 2011

Tangente Sup 60 - Évariste Galois

La vie romantique de Galois, entre un investissement total pour les mathématiques et un engagement politique qui le conduira en prison et à la mort à 20 ans, fascine encore aujourd'hui, alors qu'on vient de célébrer le bicentenaire de sa naissance. l'Equipe de Tangente vous propose d'explorer le legs du jeune prodige. Pour la première fois, vous trouverez dans cet ouvrage original une analyse minutieuse, accessible à un niveau de terminale scientifique, et dans les mots de Galois, de son célèbre mémoire. Les travaux de ce génie précoce révolutionnent une question qui était en suspens depuis... deux mille ans : la résolution par radicaux des équations polynomiales générales. Galois comprend qu'elle est impossible à partir du cinquième degré. Mieux encore, ses idées sont d'une fertilité peu commune. Ouvrant des voies décisives en mathématiques, elles s'appliquent également aujourd'hui dans des domaines aussi variés que la bio-informatique (modélisation des systèmes du vivant), la chimie, l'astrophysique, la cryptographie ou la modélisation des communications.

SOMMAIRE


Génie et héros romantique
Le premier article de Galois
L'infortune de Galois et de son mémoire
La genèse de la théorie de Galois
Impact de la théorie de Galois sur l'algèbre
L'impossibilité de Galois

Dossier "Galois... par Galois"

Introduction : la résolubilité par radicaux d'une équation algébrique
Fonctions rationnelles des racines d'un polynôme
Le groupe de Galois d'une équation algébrique
L'évolution du groupe de Galois
Résolubilité par radicaux
Le cas d'une équation irréductible de degré premier


Et aussi

En bref
Nouvelle Au café " le Galois"
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Solutions
Belles preuves
Erreurs et paradoxes

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Tangente Sup 59 - Écrire sur une sphère

SOMMAIRE


Écrire sur une sphère

Une partie du métier de cartographe consiste à écrire sur un plan ce qui est inscrit sur une sphère. Comment exécuter l'opération inverse? Il existe plusieurs façons d'écrire sur une sphère ce que, d'ordinaire, nous écrivons sur un plan.


L'art, la nature, et les variations en 1/f

L'art, la nature, et les variations en i/f Une étude récente semble prouver que les séquences des films hollywoodiens sont réparties suivant une loi dite « en 1/f». Cette distribution spectrale a déjà été observée en physique, en biologie, dans de nombreuses œuvres d'art et semble liée au fonctionnement du cerveau. Son universalité reste toutefois à expliquer.


Et aussi :

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Tangente Sup 57/58 - Les groupes

SOMMAIRE

La longue naissance des groupes

Les groupes sont souvent vus comme une création d'Évariste Galois. Cependant, des précurseurs et des continuateurs ont œuvré pour que la notion de groupe, telle qu'on la connaît aujourd'hui, soit dégagée.

Les groupes finis

Un groupe est fini quand il ne possède qu'un nombre fini d'éléments. Cette caractéristique lui confère de nombreuses propriétés. Par exemple, les cardinaux du groupe et des sous-groupes sont liés.

Permuter des cubes

Les permutations d'un objet symétrique forment un groupe. Les résultats sur les permutations peuvent être vus simplement en jouant avec des cubes. Ils sont alors très naturels.

Le groupe de Klein

Pourquoi les mathématiques sont-elles si efficaces dans tant de domaines différents ? Peut-être car elles s'intéressent aux structures entre les objets étudiés et sont dès lors générales et unificatrices.

Comment définir les groupes abstraits

Les premiers groupes considérés par Galois sont des groupes de permutations. En 1854, Arthur Cayley est le premier à en donner une définition axiomatique. Comment a-t-il fait ?

Loi de groupe sur une cubique

L'intersection d'une cubique et d'une droite est formée de trois points. Cette propriété simple permet de définir une loi de composition interne sur la courbe. Cette loi définit en général un groupe...

Groupes de Lie et équations différentielles

Depuis plus d'un siècle, Sophus Lie a établi une méthode systématique pour trouver les solutions analytiques, quand elles existent, d'une équation différentielle.


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Tangente Sup 56 - L'art de bien choisir son modèle

SOMMAIRE


L'art de la modélisation mathématique

Pour être passible de calculs, le réel a besoin d'être modélisé. Le danger est alors d'oublier la différence entre la réalité et son modèle.

Arbres de Steiner sur échiquier

Le premier article de Martin Gardner dans une revue mathématique avec comité de lecture porte sur les arbres de Steiner. Nous en proposons ici une adaptation raccourcie, dans l'esprit de Tangente Sup.

La similitude : une notion intrinsèque

Deux matrices réelles semblables sur le corps’ Des complexes le sont aussi sur le corps’ Des réels. Ce résultat a des conséquences théoriques importantes.

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Tangente Sup 55 - La dualité entre l'amour et les maths

SOMMAIRE


Les mathématiques ne sont qu'une histoire de groupes

En 1881, Henri Poincaré affirme : "Les mathématiques ne sont qu'une histoire de groupes", ce qui généralise les idées qu'exprime Félix Klein sur la géométrie dans le programme d'Erlangen.

La dualité entre l'amour et les maths

Le mathématicien Edward Frenkel a réalisé, en collaboration avec Reine Graves, un film étonnant, Rites d'amour et de maths, en hommage à Yûkoku (Rites d'amour et de mort) de Yukio Mishima. Esthétiquement parfait, il intriguera ceux qui imaginent les mathématiques comme le contraire absolu de l'art et de la poésie. Il en inquiétera d'autres ...

Un bouquet d'ellipses pour retourner la sphère

François Apéry a remporté le concours Art et Maths 2010 de Tangente avec une construction de la surface de Morin, étape intermédiaire du retournement de la sphère, en bouquet d'ellipses.
Comment l'a-t-il réalisée?

Le Sunakia

Après le succès des célèbres jeux de logique en provenance du Japon, voici le Sunakia, d'un inventeur français. En combinant les règles de deux jeux japonais, ce nouveau venu offre une grande variété de raisonnements, et des énigmes de difficulté graduée: un entraînement cérébral ludique...

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Tangente Sup 54 - Dessiner une hypersphère

SOMMAIRE


Dessiner une hypershère

La conjecture de Poincaré porte sur les hypersphères, qui généralisent à l'espace de dimension quatre les sphères de l'espace de dimension trois. Comment les représenter?

Détection des bords d'une image

Une image étant donnée, comment détecter les contours des objets qui s'y trouvent’ A travers notre cerveau, l'œil sait le faire instantanément, mais comment enseigner cet art à un ordinateur? Pour commencer, comment définir ce qu'est un contour?

Quand les tangentes étaient touchantes

Avant l'invention du calcul infinitésimal, un savant liégeois, René de Sluse, inventa le premier algorithme connu de détermination de la tangente à une courbe.

Le Sunakia

Après le succès des célèbres jeux de logique en provenance du Japon, voici le Sunakia, d'un inventeur français. En combinant les règles de deux jeux japonais, ce nouveau venu offre une grande variété de raisonnements, et des énigmes de difficulté graduée: un entraînement cérébral ludique...

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Mathématiques récréativités
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Tangente Sup 53 - Tous platoniciens

SOMMAIRE


Les fonctions de hachage

Comment savoir si un document a été transmis intégralement’ Une réponse est de lui associer une signature, que l'on nomme aussi empreinte. Celle-ci peut s'obtenir par hachage.

Les mathématiciens, tous platoniciens’

Comme Platon, les mathématiciens sont des créateurs de mondes. Un exemple dû au philosophe grec est le monde issu du mythe de la caverne. Doit-on autant considérer tous les mathématiciens comme platoniciens’

Détermination intrinsèque d'un plan tangent

Une surface étant donnée par le relevé de ses lignes de niveaux, comment en déterminer les plans tangents’


Et aussi

Mathématiques récréativités
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Tangente Sup 51/52 - Surfaces

SOMMAIRE

Construction avec des fils
Dans l'Himalaya, les tabourets sont encadrés par deux hyperboles. D'ou viennent-elles’ Leur construction en osier se généralise et donne les surfaces réglées, que l'on trouve souvent en architecture.

Question de dimension
Une surface est un objet de dimension deux. Mais comment définition la notion de dimension’

Découpage d'un polygone régulier en losanges
Les polygones réguliers sont l'objet d'études depuis plusieurs milliers d'années. De façon étonnante, personne ne semble s'être jamais intéressé à les découper en losanges.

Dessiner une surface fractale
Les surfaces fractales peuvent engendrer de très belles images, mais une méthode adaptée est nécessaire pour les dessiner correctement.

Graveur de bouteilles
Le graveur Patrice Jeener s'est spécialisé dans la gravure de surfaces mathématiques. Outre leur côté esthétique, elles ont une histoire... mathématique, elle aussi.

Les cercles d'Apollonius et les cyclides de Dupin
Le mathématicien, ingénieur, homme politique et néanmoins baron français Pierre Charles François Dupin (1784-1873), a été l'un des plus brillants élèves de Monge. Généralisant un problème fertile, il inventa de nouvelles surfaces, les cyclides.

Trianguler une surface
Pour représenter une surface, le plus simple est de la décomposer en petits triangles et d'utiliser une projection centrale. Cette décomposition permet de la mouvoir ou de la transformer.

Lignes tracées sur une surface
Pour se déplacer sur une surface, on suit une courbe. Si l'on s'impose de rester à la même altitude, il s'agit des lignes de niveaux. Avec d'autres contraintes, nous obtenons lignes de plus grandes pentes, loxodromie ou géodésiques...

Le tore à collier
Le tore à collier est la surface engendrée par rotation d'un cercle autour d'un axe ne le coupant pas. Par chacun de ses points, il passe exactement quatre cercles. Il est également à l'origine d'une classification des surfaces.

L'eau qui ne mouille pas
Quelques expériences qualitatives à la surface d'un liquide mettent en évidence diverses forces, et des phénomènes a priori étranges.

Les hologrammes
Comment les ondes lumineuses permettent-elles d'enregistrer et restituer fidèlement les surfaces d'objets tridimensionnels ?

Les forces de friction
Pourquoi un cheval ne peut-il se défaire d'un nœud d'attache simple pourtant si facile à enlever par le cavalier? La réponse tient dans les forces de friction.

Et aussi

Mathématiques récréatives, Nouvelle d'une taupe modèle, En bref, Belles preuves
Avis de recherche, Solutions et Bibliographie

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Tangente Sup 50 - Crythographie élections

SOMMAIRE


Nombre de partitions d'un nombre entier

De combien de manières peut-on partager un entier? Le problème peut sembler simple. Pourtant, il comporte encore bien des questions ouvertes.

Désignation des élus au sein d'un parti

Dans nos régimes démocratiques, le suffrage universel reconnaît le droit de vote à chaque électeur, sans aucune discrimination : ainsi, le "peuple souverain" est amené à désigner ceux qui le représenteront pour un mandat déterminé. A cet effet, plusieurs systèmes électoraux existent. Certains pays adoptent un système majoritaire: l'avantage est accordé à un parti en particulier, son adversaire formant ce qui est appelé " l'opposition". D'autres nations optent pour un système proportionnel : la présence de plusieurs partis est privilégiée de manière à mieux traduire les sensibilités des électeurs. En plus de cette différence de systèmes, de nombreuses règles peuvent être élaborées pour amener un bon fonctionnement de la gouvernance.

La cryptographie appliquée au vote électronique

Le vote électronique-éventuellement par Internet-est un moyen de réduire le coût des élections, et de réduire l'abstention. Le problème : peut-on s'y fier?


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Tangente Sup 49 - Spécial Musique

Vous avez entre les mains le numéro de Tangente 49 de Tangente SUP. Le prochain, Tangente SUP 50, ne paraîtra qu'en septembre. Le suivant numéroté 51-52, sera un numéro double consacré au thème des TIPE retenu pour la rentrée 2009 : les surfaces. N'oubliez pas par ailleurs de vous réabonner dans les temps afin de le recevoir! Nous ferons notre possible pour l'envoyer fin octobre, afin que les enseignants et leurs élèves puissent l'utiliser au plus vite.

La rédaction


SOMMAIRE


La ronde des quintes

La gamme majeure comporte sept notes choisies parmi les douze que compte la gamme chromatique. Ces deux nombres, 12 et 7, ne doivent rien au hasard mais à des questions géométriques.

Translations musicales

L'utilisation des transformations géométriques ne se limite pas aux mathématiques ou arts plastiques. Nous retrouvons les translations en musique, dans les canons.

Mensualisation et inflation

L'inflation suit une loi géométrique, pas une loi arithmétique, ce qui n'empêche pas les calculs... arithmétiques.


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Tangente Sup 48 - l'Hexagramme Mystique

SOMMAIRE


L'hexagramme mystique

Blaise Pascal a découvert une propriété surprenante des hexagones inscrits dans les coniques. Pourquoi la qualifia-t-il d'hexagramme mystique?

Les fractions égyptiennes

A l'exception des fractions 2/3 et 3/4 pour lesquelles il existait une notation particulière, les Égyptiens de l'époque pharaonique n'utilisaient que des fractions de numérateur 1. Toute fraction autre devait se décomposer en une somme de fractions de numérateur 1 et de dénominateurs tous différents, qu'on appelle depuis des "fractions égyptiennes".

Gamma : une fonction pour bêtas

La fonction factorielle se définit naturellement sur les nombres entiers positifs. Comment se généralise-t-elle aux nombres réels et même au-delà? La réponse tient en un peu de calcul intégral.

La formule de Stirling

La formule de Stirling peut être démontrée de plusieurs manières. En voici deux preuves presque naturelles quand on connaît les intégrales de Wallis, de Gauss et la fonction Gamma.


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Tangente Sup 47 - L'effet Papillon

SOMMAIRE


Points de vue sur les fonctions

La notion de fonction peut être vue de plusieurs façons. Chacune est utile pour en comprendre la subtilité.

Le cube hongrois

Inventé par l'ingénieur hongrois Erno Rubik dans les années 1970, le Rubik's cube connaît un véritable succès planétaire dans les années 1980. Tombé un peu dans l'oubli ensuite, il revient au goût du jour depuis quelques années avec de nouveaux cubes 4 X 4 X 4, 5 X 5 X 5, 6 X 6 X 6 et même 7 X 7 X 7.

La complexité algorithmique

La résolution de certains problèmes passe par l'utilisation d'algorithmes. Dans cet article on aborde la question de la complexité algorithmique, une modélisation mathématique de leur temps d'exécution.


L'effet papillon

L'effet papillon est revenu à la mode. Des laboratoires de météorologie, il est passé à la chanson. La métaphore s'est appauvrie au passage. Retour aux origines d'une expression poétique.


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Tangente Sup 46 - Les Courbes des ponts suspendus

SOMMAIRE


Deux problèmes japonais

Kobon Fujimura a été l'un des plus grands créateurs de jeux mathématiques au Japon. On lui doit le célèbre poisson que l'on peut retourner en déplaçant seulement trois allumettes.

La chaînette élastique

La chaînette élastique est la courbe que prend un fil pesant rigide suspendu en deux points. Si celui-ci est élastique, nous obtenons une chaînette élastique. Par l'auteur du site Mathcurve.

Les courbes des ponts suspendus

Les ponts suspendus, premiers ouvrages à permettre de grandes travées au début du XIXème siècle, sont maintenant très répandus et les câbles soutenant leur tablier font partie de notre paysage quotidien. Mais pourriez-vous me dire quelle courbe est définie par leur molle courbure ?


Utilisation d'un microscope virtuel

Pour étudier l'allure d'une courbe, quoi de mieux qu'un microscope (virtuel, bien sûr) ? Voyage au pays des hyper réels et de l'analyse non standard.


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Tangente Sup 44/45 - Le Perceptron

SOMMAIRE


Comment Google classe les pages

Les moteurs de recherche comme Google donnent les sites les plus pertinents par rapport à une recherche. Comment font-ils’ De façon assez surprenante, les puissances de matrices sont au centre de la réponse.

Plus sort qu'Einstein

Où le lecteur verra comment les différents protagonistes d'un même problème de géométrie apportent de multiples enseignements à l'auteur.

Le théorème de Perron-Frobenius

Le théorème de Perron-Frobenius sur les matrices stochastiques a de nombreuses applications. Elles concernent en particulier les chaînes de Markov.


Une modélisation de la récidive

L'évolution de la population des criminels entre liberté et prison peut être modélisée par une chaîne de Markov. Quelle est l'influence du taux de récidive?

Riemann : des intégrales à la physique

Bernhard Riemann fut un visionnaire. Ses idées ont révolutionné les mathématiques et la physique et trouvent toujours un écho dans la recherche actuelle.

Le perceptron

Comment imiter le fonctionnement du cerveau humain et ses réseaux de neurones ? Une réponse : le perceptron.

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Tangente Sup 43 - Une merveille cachée du triangle de Pascal

SOMMAIRE


L'ombre de la base canonique sur les polynômes de Bernoulli

Les polynômes de Bernoulli ont quelques propriétés analogues à ceux de la base canonique. Comment l'expliquer ?

L'inverseur de Plouffe

L'usage d'une calculatrice permet de calculer la valeur de n'importe quel nombre exprimé à l'aide des fonctions usuelles. Inversement, comment retrouver une valeur à partir d'une approximation décimale?

Mathématiques récréatives : les surprises du triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est la vedette du numéro 122 de Tangente. Tangente Sup vous propose quelques curiosités supplémentaires à son sujet, dans cette page et dans l'article suivant.


Une merveille cachée du triangle de Pascal

En 1949, Erdös donna une preuve " élémentaire" du théorème des nombres premiers. De façon surprenante, elle est liée aux coefficients du binôme.

Épistémologie et modèles mathématiques

La modélisation mathématique peut sembler parfois paradoxale. Une même situation de réalité peut avoir plusieurs modèles mathématiques et le même modèle peut interpréter plusieurs phénomènes distincts.


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Tangente Sup 42 - Évaluer une option : L'exemple du Baril de pétrole

SOMMAIRE


Les lampes magiques

On voit, dans le commerce des lampes un peu magiques qui s'allument lorsqu'on les touche. Or pour le scientifique, il n'y a pas de magie, mais uniquement des lois de la nature et des explications à rechercher.

Un indien génial

En supplément de Tangente 121, quelques formules étonnantes de Srinivasa Ramanujan, mathématicien énigmatique et génial.

Comment évaluer une option sur le prix du pétrole ?

Tous les gestionnaires ont besoin de prévoir, de calculer les risques. Comment faire en l'absence de prévisions certaines ?

Accélération de convergence

A l'époque des super - calculateurs la convergence peut sembler passée de mode. Pourtant, l'opération est toujours de mise que ce soit pour gagner du temps, ou tout simplement rendre le calcul possible.

Doeblin et Itô : deux formules similaires er différentes

Le pli cacheté de Wolfgang Doeblin a été ouvert en 2000 par l'Académie des Sciences : ce mathématicien français d'origine allemande, mort en 1940, &tait un génie insoupçonné !


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Tangente Sup 41 - L'école Mathématique Polonaise

SOMMAIRE


La Géométrie : talon d'Achille des supercalculateurs

Pour représenter des images 3D (éventuellement animées), les supercalculateurs utilisent des méthodes géométriques, qui consistent à représenter les volumes par des polygones. Ils peuvent aussi choisir une méthode algébrique, plus économe en mémoire et en temps d'affichage, qui consiste à représenter les volumes par des équations polynomiales.

Valérie Pécresse : " Nous ne toucherons pas aux classes prépas! "

Il ne se passe pas de décennie sans que se fasse jour un projet de mettre à mal le système français des grandes écoles et des classes préparatoires. Tangente Sup a interrogé la Ministre de l'enseignement supérieur et de la recherche. Sa réponse, rassurante, vous est livrée in extenso.

Dossier : L'école mathématique polonaise

Mathématiques récréatives : le billard cubique de Steinhaus

Les mathématiques actuelles en Pologne

Durant la période 1919-1939, l'école mathématique polonaise s'est façonné un style. Depuis cette époque, l'éventail des intérêts scientifiques de plus de 2000 chercheurs en mathématiques, qu'ils travaillent en Pologne ou à l'étranger, s'est considérablement élargi.

Les espaces polonais

L'école mathématique polonaise de l'entre deux guerres a été particulièrement prolifique. Elle nous a laissé, entre autres, les espaces de Banach et les espaces polonais.


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Tangente Sup 39/40 - L'infini entre logique et paradoxe

SOMMAIRE


La réforme des universités, Interrogations et certitudes

Les étudiants sont dans la rue, les facultés bloquées. Mais peu connaissent les modalités de cette fameuse réforme des universités si contestée et personne ne peut en prédire les conséquences pratiques.

Puissances de matrices

Le calcul de puissances de matrices est un exercice classique, proche de la diagonalisation. Des résultats en facilitent l'approche. Parmi les applications, on trouve l'étude de la dynamique de certaines populations.

L'infini, entre logique et paradoxes

Notre monde, comment est-il’ Discret ou continu’ Logique ou paradoxal’ Décidable ou indécidable? Toutes ces questions relèvent de la notion d'infini.

Limites supérieures et valeurs d'adhérence : exemples et contre-exemples

Les suites numériques sont connues depuis l'Antiquité, et plus couramment utilisées depuis Cauchy. On s'intéresse ici aux suites divergentes et à leurs valeurs d'adhérence lorsqu'elles existent.

Magnétorésistance géante, une révolution nobélisée

Le Nobel 2007 récompense la découverte de la magnétorésistance géante par Albert Fert et Peter Grünberg. Une révolution pour les disques durs, qui est en passe de bouleverser l'électronique grâce aux nanotechnologies.


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Tangente Sup 38 - Séries Trigonométriques

SOMMAIRE


Saga : Les séries trigonométriques


Naissance des séries trigonométriques

Les séries trigonométriques sont nées de problèmes de physique concrets : répartition de la chaleur dans une barre chauffée et mouvement d'une corde vibrante. Elles ont posé ensuite de nombreuses questions (mathématiques) de convergence.

Unicité du développement en série trigonométrique

Si une fonction est somme d'une série trigonométrique, ce développement est-il unique ? Cette question anodine a donné naissance à la théorie des ensembles de Cantor.

Naissance des distributions

Dans la Naissance des séries trigonométriques, nous voyons comment résoudre l'équation aux cordes vibrantes. L a solution trouvée fournit rarement une fonction. Elle garde pourtant une valeur, mais dans un autre sens, celui des distributions.


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Tangente Sup 37 - Les Mathématiques des Fluides

SOMMAIRE


Dossier : Les mathématiques des fluides

L'équation de Navier-Stokes et la méthode de Leray

Dans Tangente n°116, on découvre un pionnier des mathématiques de la turbulence : Jean Leray. Penchons-nous ici sur la démarche qui fut la sienne dans l'étude des solutions de l'équation de Navier-Stokes.

Saga : Pavages et découpages

Les groupes de l'Alhambra

L'Alhambra de Grenade est réputé pour ses jardins et ses décorations géométriques. Les carreleurs y ont utilisé les dix-sept façons d'agencer des pavés décoratifs. Comment les reconnaître?

Les suites globalement croissantes

L'étude des suites oblige à préciser des notions intuitives car de nombreuses propriétés que l'on pense de prime abord exactes, voire évidentes, peuvent parfois s'avérer fausses. Par exemple, comment définir la notion de suite globalement croissante?

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Tangente Sup 35 - Les Séries de Reimann

SOMMAIRE


Dossier : Les séries de Riemann

Extension de la fonction

La fonction de Riemann peut être étendue au plan complexe privé du point1. Quel intérêt’ Le plaisir d'une conjecture délicate ? Non, avant tout l'étude de la répartition des nombres premiers.

Les portes du paradis

Dans Tangente numéro 114, nous voyons comment Euler calculait ? Nous montrons ici que sa démonstration est rigoureuse.

Séries de Riemann et intégrale

La comparaison d'une série et d'une intégrale permet non seulement de conclure dans certains cas à la convergence ou la divergence de la série, mais également d'encadrer ses sommes partielles en cas de divergence ou son reste en cas de convergence. Application aux séries de Riemann.


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Mathématiques récréatives
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Tangente Sup 34 - La série harmonique

SOMMAIRE


Dossier : La saga des séries

Les sommes de l'harmonique

Suivant la précision demandée, la série harmonique a des sommes distinctes. N'est-ce pas la meilleure preuve de sa divergence?

Transformations de l'harmonique

La série harmonique est divergente (voir à ce sujet les articles de Tangente n°113). Comment modifier ses termes pour la rendre convergente ?

Julia et le lapin de Douady

Adrien Douady nous a quitté cette année. En hommage, Tangente Sup vous propose une visite au pays de son lapin, celui de la dynamique complexe des polynômes quadratiques.


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Mathématiques récréatives
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Olympiades Internationales de Mathématiques 1979
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Tangente Sup 33 - La Saga des séries

SOMMAIRE


Dossier : La saga des séries

Séries géométriques et critères de convergence

Les séries géométriques sont parmi celles qu'il est le plus facile d'étudier. Mais elles servent aussi d'étalon pour reconnaître la convergence ou la divergence d'une série moins aisée à cerner.

Usage des séries divergentes

Au XVIIIème siècle, Euler a obtenu un certain nombre de résultats exacts en attribuant des valeurs à des sommes de séries divergentes. Fruit du hasard ou intuition géniale?

Les nombres hypercomplexes

Toute généralisation s'accompagne de la perte de quelques propriétés. Dans cet exposé très simple sur les nombres hypercomplexes, on (re)découvre l'algèbre des complexes, celle des quaternions, des octonions...


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Tangente Sup 32 - Mathématiciens précoces

SOMMAIRE


Dossier : Les mathématiciens précoces


Gauss et le "théorème d'or"

Le génie précoce Carl Friedrich Gauss fit la démonstration complète de l'hypothèse d'Euler, ou "théorème d'or", à 19 ans, à partir d'observations enfantines sur les nombres.

Les nombres figurés et l'extraction de racine

Le calcul d'une racine carrée peut être effectué de bien des façons. En voici une qui, à défaut d'être performante, lie nombres figurés et algorithme. Cette méthode est particulièrement adaptée au calcul par ordinateur.

Le simplexe : une approche géométrique de la programmation linéaire

La géométrie des polyèdres permet de résoudre les problèmes d'optimisation des fonctions linéaires pour des variables soumise à des contraintes linéaires. Il s'agit de la méthode du simplexe.


Et aussi

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Erreurs et paradoxes
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Tangente Sup 31 - Géométries non-euclidiennes

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Les angles corniculaires et l'infiniment petit

La notion d'angle est moins élémentaire qu'on peut le penser et a été introduite de différentes manières suivant les époques. L'étude des angles entre deux droites est délicate. Celle des angles que délimitent les courbes entre elles mène à la notion d'infiniment petit.

Dossier : Géométries non - euclidiennes

Repenser le cube avec la géométrie projective

La géométrie projective va permettre de reconsidérer les figures euclidiennes dont nous avons l'habitude, comme le cube, comme des cas particuliers de figures projectives. Nous verrons ici comment on passe des premières aux dernières et comment certaines propriétés se conservent lors de ce passage.

La spectroscopie laser

Les lasers ont permis de nombreuses avancées en métrologie, comme par exemple l'adoption d'une nouvelle définition du mètre. Les lauréats de la seconde moitié du prix Nobel de Physique 2005, John Hall et Theodor Hänsch, ont grandement contribué à ces progrès.


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Tangente Sup 30 - Les Surfaces

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Extensions de l'exponentielle

En utilisant son développement en série entière, on peut étendre la fonction exponentielle non seulement aux nombres complexes mais également aux matrices carrées.

Des équations pour décrire la lumière

Depuis le XXème siècle et l'optique quantique, la lumière n'est plus vue seulement comme une onde mais comme possédant aussi les propriétés d'une particule quantique. De nombreuses applications, comme les lasers par exemple, découlent de cet aspect.

Dossier : Les surfaces

Surfaces algébriques, rétrospective et perspectives

Depuis le début du XVIIIème siècle, on étudie les surfaces algébriques d'une multitude de façons: en cherchant à déterminer leur équation, en s'intéressant aux courbes qui les engendrent, en observant leurs propriétés de symétrie, leurs caractéristiques topologiques ou les contraintes géométriques auxquelles elles répondent.


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Tangente Sup 29 - Les Polynômes

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Le choix des points dans l'interpolation

Quand on ne connaît une fonction que par des valeurs expérimentales, on peut essayer de la reconstituer par interpolation. Une des méthodes les plus simples pour cela est l'interpolation polynomiale.


Dossier: Les polynômes

Autour des polynômes de Tchebichef

Tchebichef (1821-1894), le grand maître de l'école de mathématiques de Saint- Petersbourg, a laissé de nombreux apports en arithmétique et son nom à une inégalité (fort utile en calcul des probabilités) ainsi qu'à une classe de polynômes. Cet article est une invitation à explorer ces derniers.

Le Jeu de la vie

Le Jeu de la Vie fait parie de ce que l'on appelle les automates cellulaires. Ces êtres virtuels sont nés dans les années 1960, de l'imagination fertile du mathématicien britannique John Conway. Des cellules d'un quadrillage régulier vivent, meurent et naissent selon des règles définies à l'avance.


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Tangente Sup 28 - Le Continu et le discret

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Dossier : Le continu et le discret

Linéarité et interpolation

L'interpolation d'un nuage de points par une fonction peut se faire de diverses manières : fonctions affines par morceaux, polynômes, splines, etc.

Discrétiser des équations

Quand une équation différentielle linéaire n'admet pas de solution exprimable à l'aide des fonctions usuelles, une idée est de remplacer la fonction inconnue par un tableau de valeurs, l'équation différentielle devient alors un système linéaire.

Échantillonnage et théorème de Shannon

Le numérique consiste à transformer un signal analogique en une séquence de nombres pour le stocker sur un support comme les CD ou DVD. Comment restituer ensuite le signal original’

Des sigmoïdes en chimie

Plutôt que d'interpoler des résultats d'expériences linéairement ou par des polynômes, on peut ajuster une fonction "élémentaire" ayant des propriétés semblables à celles des valeurs observées.

Modélisation de phénomènes périodiques

Pour modéliser des phénomènes périodiques, il n'est pas question d'utiliser une interpolation linéaire. Il vaut mieux privilégier les fonctions périodiques, comme par exemple la fonction sinus.

Dossier : Partage d'un gâteau

Pour ne pas provoquer de jalousie, le partage d'un gâteau est un art cultivé dans les familles nombreuses. Voyons ici une méthode permettant de satisfaire au mieux tous les convives...

Dossier : L'inextricable simplicité de l'Internet

L'Internet est fondé sur des principes très simples. Cependant, avec ses millions d'ordinateurs connectés et ses kilomètres de câbles de toutes sortes, il est d'une inextricable complexité.

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Tangente Sup 27 - La Topologie

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Dossier : La topologie

La forme des boules

Pour la norme des oiseaux, toutes les boules sont rondes. Pourtant, on en rencontre des carrées. De manière générale, quelques propriétés permettent de caractériser une boule.

Normes et distances en statistique

Les notions de médiane et de moyenne d'une série statistique correspondent à la même idée de minimisation appliquée à deux normes différentes. Ces deux notions s'avèrent précieuses dans bien des cas concrets.

Démonstration d'existence par compacité

Les démonstrations d'existence sont une spécificité des mathématiques: comment établir qu'un objet existe sans en exhiber un seul ? La compacité est l'un des outils qui le permet.

Dossier : Coïncidences

Les probabilités montrent qu'il est fréquent de trouver deux individus nés le même jour de l'année dans une assemblée d'une trentaine de personnes. La généralisation de ce résultat, surprenant pour le grand public, permet de prévoir bon nombre de coïncidences encore plus troublantes ... par un simple calcul mental!

Dossier : Les mariages stables

Former, à partir d'un certain nombre d'hommes et de femmes, les couples les plus stables possibles, c'est possible grâce à des algorithmes tenant compte des préférences de chacun. Ceux-ci sont aussi utilisés, pour affecter les élèves dans les classes préparatoires aux Grandes Écoles.

Calculs à la mode d'Euler

Pour calculer la somme des inverses des carrés des nombres entiers, Euler utilisait une méthode aujourd'hui oubliée. Pourtant, elle est toujours féconde et permet de trouver de nouveaux résultats.

Superfluidité et superconductivité

A base température, certains métaux ont une résistance nulle. Ce phénomène porte le nom de supraconductivité. De même, la viscosité des liquides peut devenir nulle à basse température : c'est la superfluidité.

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Tangente Sup 26 - Le Calcul 

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Dossier : Le calcul

La méthode des éléments finis

La décomposition d'une règle en une suite de tiges rigides reliées par des ressorts fournit un modèle de calcul performant pour évaluer sa déformation. Ce modèle se généralise de façon étonnante à toutes sortes de situations pour donner la méthode des éléments finis.

Les fonctions des calculatrices

Les calculatrices scientifiques modernes n'emploient pas les méthodes de calcul utilisées au temps des tables de logarithmes. Elles privilégient les additions et les soustractions, plus économiques en temps que les autres opérations.

Le calcul à hautes performances

Les calculs à haute performance ne sont pas seulement l'affaire de super - calculateurs. Des myriades de petits ordinateurs peuvent mettre leurs ressources en commun. La gestion des tâches devient alors l'un des problèmes essentiels du calcul.

Des règles et des motifs pour calculer

Le langage Mathematica offre un procédé de programmation extrêmement élégant : l'emploi des notions de "règle et de motif". Le mélange des deux fournit de puissantes possibilités de programmation.

Dossier : Ombres de lumière

Lorsque le cône de lumière d'un abat- jour rencontre un mur, il se forme une ombre elliptique, hyperbolique ou parabolique. Très peu de calculs sont nécessaires pour déterminer cette forme.

Dossier : Force et liberté dans le monde des quarks

L'existence des quarks, particules constituant le proton et le neutron, a été prédite dès les années 1950. Pourtant toutes les expériences destinées à produire un quark isolé ont échoué. Les lauréats du prix Nobel de Physique 2004 ont été les premiers à comprendre et à expliquer pourquoi.


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Tangente Sup 25 - Le Zéro et le vide

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Les cent ans du père des filtres

Les mathématiciens français sont parmi les meilleures du monde. L'un des principaux responsables de cette exception culturelle est le père des filtres. Il a fêté ses cent ans le 8 juillet 2004.

Dossier : Le zéro et le vide

Gloire à vous tous, nobles zéros!

Un zéro, ce peut être beaucoup de choses. De l'histoire des nombres au calcul infinitésimal, en passant par les racines des polygones, faisons un petit tour mathématique autour de cette notion tellement ... multiple!

Les infinitésimaux en analyse non standard

Jusque vers le milieu du XXème siècle, l'infini a été considéré comme potentiel : on peut tendre vers l'infini mais jamais l'atteindre. Depuis Abraham Robinson, il est possible de travailler et calculer sur des infinis actuels avec rigueur.

Les physiciens face au vide

Le cheminement intellectuel qui a permis aux hommes de décrire la matière comme un ensemble d'atomes, de modéliser ces derniers pour les appréhender par la pensée, a été parsemé d'erreurs, de remises en causes et de bouleversement successifs.

L'algèbre à corriger les erreurs

En informatique, il est indispensable de pouvoir détecter et corriger les erreurs, qui de glissent dans les suites de 0 et 1. Pour cela, l'algèbre vient à notre secours, sous la forme de matrices génératrices de code, ou de matrices de contrôle.

Les chaînettes de surface

La chaînette classique correspond à un fil pesant abandonné dans l'espace. Que ce passe - t-il lorsqu'on pose ce fil sur un cylindre vertical, une sphère, un cône, etc. ? Pour le savoir, une étude mécanique est nécessaire.


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Tangente Sup 24 - Les Erreurs

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Dossier : Les erreurs

La naissance paradoxale de la théorie des ensembles

L'étude des séries de Fourier à la fin XIXème siècle a provoqué la naissance de la théorie des ensembles. Elle a montré que les mathématiques d'alors étaient sur du sable. Leurs fondations sont- elles plus solides de nos jours ?

La conjecture de Poincaré

Une erreur de Poincaré sur les objets géométriques non représentables dans l'espace de dimension 3 fonde la topologie moderne. En se penchant sur ce fameux énoncé, on redécouvre la notion de variété, et on s'intéresse en particulier aux propriétés des variétés compactes et connexes.

L'évolution du modèle atomique

Le cheminement intellectuel, qui a permis aux hommes de décrire la matière comme un ensemble d'atomes, de modéliser ces derniers pour les appréhender par la pensée, a été parsemé d'erreurs, de remises en causes et de bouleversements successifs.

Abel et le retour de la rigueur

La rigueur a été la clef de voûte des apports mathématiques du XIXème siècle. Mais à cette époque, elle n'allait pas de soi et ses défenseurs durent batailler pour l'imposer. Un des "architectes" à la traquer sans relâche fut Niels Henrik Abel.

La courbe des lignes haute tension

Les lignes hautes tension, comme certains bijoux qui pendent au cou des personnes élégantes, sont en forme de chaînettes. Tous ces objets nous offrent l'occasion d'observer quotidiennement le cosinus hyperbolique.


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Tangente Sup 23 - Les Groupes

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Dossier : Les groupes

Groupes et équations

Un groupe est une structure où certaines règles de calcul sont valides. En particulier, les parenthèses sont inutiles et les équations ont des solutions. Pour obtenir ces règles, quelle est la meilleure définition à donner aux groupes ?

Hyperpolyèdres et groupes de quaternions

Les quaternions offrent un magnifique pont entre l'algèbre des groupes et la géométrie des polyèdres. Ici,, nous allons considérer quelques hyperpolyèdres et mettre en évidence les caractéristiques des groupes auxquels ils correspondent, ainsi que des éventuels sous - groupes engendrés par leurs intersections avec des hyperplans de l'espace de dimension4.

Les groupes en cryptographie

Un certain nombre de données doivent être cryptées pour voyager sans qu'une interception présente de risque. Pour cela, on utilise des méthodes de codage qui font intervenir des groupes finis.

La structure des mousses

Les mousses, solides issus de la rencontre d'un liquide et d'un gaz, sont des objets surprenants à plus d'un titre. L'étude de leur structure se ramène à la résolution de problèmes de géométrie. C'est aussi l'occasion de passer d'un système physique à sa modélisation numérique.

Lutter contre les spams

Comment rejeter les courriers électroniques non sollicités sans perdre de messages ?, La solution la plus efficace à l'heure actuelle repose sur l'utilisation d'un théorème de mathématiques : le théorème de Bayes.

Les géométries non euclidiennes

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°. Cette conséquence su postulat d'Euclide a longtemps semblé une évidence. Pourtant, il existe des géométries où cette somme est inférieure ou supérieure à 180°.

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Tangente Sup 22 - La Continuité

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Réorganisation de l'infini

L'infini est souvent source de résultats paradoxaux. Ceux- ci se retrouvent dans le calcul des sommes de certaines séries : les séries semi- convergentes.

Modifications de la série harmonique

La série harmonique diverge mais de petites modifications de ses termes donnent des séries convergentes. Quelles conditions sur les termes modifiés permettent d'obtenir à coup sûr la convergence?

Chorégraphies pour le ballet d'étoiles

Les masses d'un système de deux corps sont entièrement déterminées par leur mouvement. Mais pour trois corps et plus, les choses sont un peu plus compliquées. C'est là qu'apparaissent les "solutions perverses ".

Dossier : La continuité

L'épaisseur de la continuité

Selon Euclide, une courbe est ce qui a une longueur mais pas d'épaisseur. Avec cette définition, la trajectoire continue d'un point mobile est- elle une courbe?

Labyrinthe

Parfois, des objets très complexes peuvent être décrits très simplement comme produits des duplications successives d'un motif élémentaire. A la base de tout cela se trouve le principe de récursivité.

Cantor : Le discontinu parfait

L'ensemble de Cantor peut sembler la création monstrueuse d'un esthète dévoyé. Pourtant, il sert en théorie à générer des contre - exemples comme en pratique à modéliser et résoudre des problèmes concrets.

Les maths sont partout

Lorsque l'on zippe un fichier, on effectue en réalité un codage de ses octets de sorte à obtenir des séries de bits de longueur moindre. Les codages les plus efficaces sont réalisés grâce à des arbres.

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Tangente Sup 21 - La géométrie des tas de sable

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Résolution des équations algébriques

La recherche des solutions des équations a amené la naissance de la notation algébrique, de la notion d'algorithme ainsi que celle de groupe.

La forme de la Terre

Enjeu politique ou intérêt scientifique, la connaissance de la forme exacte de la Terre a toujours été cruciale. Elle a entrainé les savants de toutes les époques dans des calculs parfois complexes, mais souvent ingénieux, leur inventivité se chargeant de compenser les limites de leur temps.

Dossier: Les tas de sable


Des surprises dans les avalanches

Peut-on prévoir la taille des avalanches ? Pour essayer de répondre à cette question, des physiciens ont étudiée plusieurs types d'avalanche différents.

L'algèbre des avalanches

Une simple grille modélise les avalanches comme la propagation des feux de foret. On en tire une foule de propriétés algébriques qui permettront de prévoir le comportement de ces phénomènes naturels.

Profils des dunes

La forme des dunes n'est pas le fruit du hasard. Elle peut s'étudier à l'aide d'un modèle simple des tas de sable, en considérant, pour une quantité de sable donnée, les possibilités de disposition des grains. Pourra- t- on prévoir tous les profils possibles, quelque soit la taille du tas ?

Les maths dont partout

Dans notre monde, les mathématiques affleurent partout. La plupart de nos objets quotidiens en sont imprégnés mais il faut un œil exercé pour les apercevoir.


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