Parution: 03 - 2019

Bib 38 - Mathématiques et philosophie - Edition 2019

La présentation de Tangente

Philosophie et mathématiques sont nées simultanément du regard que l’homme porte sur le monde qui l’entoure. Infini, hasard et déterminisme, logique et paradoxes sont des sujets communs aux deux disciplines qui ont toujours fasciné, et n’ont pas encore livré tous leurs secrets. Pendant toute une époque, ce sont les mêmes savants qui étaient philosophes et mathématiciens. En s’interrogeant sur la nature du savoir mathématique (les nombres existent-ils ? peut-on compter l’infini ? qu’est-ce qu’un point dans le plan ?), des penseurs et des savants comme Platon, Aristote, Pascal, Descartes, Leibniz, Poincaré ont fait avancer la réflexion. Ces interrogations ont conduit à l’émergence de théories sur les concepts concernés mais aussi sur le langage et son efficacité, l’interaction sémantique / syntaxe ou encore le rôle de l’intuition. Elles ont aussi été à l’origine de croyances comme celle de l’existence d’entités inaccessibles.
Les enjeux de ces questionnements, de ces échanges, de ces controverses sont mis ici à la portée de tous, sans occulter les difficultés suscitées par les notions présentées.


Le sommaire

Maths et philo : regards croisés
La logique
Querelles philosophiques
Les grandes notions

Parution: 03 - 2019

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Bib 33 - Les nombres et leurs secrets - Réédition 2022

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La présentation de Tangente

Le nombre est l'un des objets mathématiques de base. On l'utilise tous les jours, dans de nombreux contextes. Mais de quels nombres parle-t-on ? Des entiers positifs, à l'origine servant à compter ? Des nombres négatifs, qui mesurent essentiellement les variations, et dont l'apparition est relativement récente??
Des nombres imaginaires, apparus au même moment, indispensables outils de l'ingénieur ? Et il y en a bien d'autres !
Cet ouvrage présente d'abord la formidable histoire des nombres, de l'apparition du zéro à celle des nombres transcendants, en passant par les différents systèmes de numération.
Puis il chemine sur des sentiers plus ou moins classiques : le nombre p, les triplets pythagoriciens, les partages d'entiers, l'hypothèse du continu, les équations diophantiennes, ou les pépites dues au fameux mathématicien hongrois Paul Erdös.
Pour terminer, il livre de vrais secrets, de certaines curiosités fascinantes aux applications les plus confidentielles de la théorie des nombres.


Le sommaire

L'apparition des nombres
Les nombres dans tous leurs états
Les visionnaires des nombres
Calculs et curiosités

Parution: 03 - 2019

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Bib 32 - Maths et finances - Edition 2019

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La présentation de Tangente

Non, la finance n’est pas réservée aux initiés ! Son vocabulaire, qui nous fascine et nous obsède parfois, met en avant des mots comme « taux », « indices »,
« variations », « inflation », souvent empruntés à l’analyse mathématique. Et ce n’est pas un leurre.?Pour exemple, le prix d’une option est fixé à partir de l’équation dite «?de Black et Scholes’» (ce dernier a obtenu le prix Nobel d’économie en 1997), et toute étude sérieuse des cours requiert une analyse statistique poussée.
Cet ouvrage, à la fois accessible et technique, s’adresse à tous ceux qui rêvent d’avoir les clés pour comprendre les rouages du monde de la banque et de la
finance sans avoir à suivre une formation spécialisée. De Monsieur Tout le monde, qui comprendra mieux le taux d’intérêt de son crédit, au professionnel de la Bourse qui comprendra les modèles, mais aussi le rôle et le fonctionnement des autorités de régulation. Une analyse de la gestion d’une crise permettra de fournir des réponses objectives au débat sur la validité des modèles mathématiques et leur responsabilité souvent (à tort) mise en avant.


Le sommaire

Taux d’intérêt et crédit
La bourse
Les marchés à terme et options
Régulation et risque
?

Parution: 03 - 2019

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Bib 23 - Maths et arts plastiques - Réédition 2022

A Babylone, en Egypte ou en Grèce, l'homme antique est confronté à des partages de champs ou d'héritages qui le conduisent déjà à résoudre des équations algébriques, parfois sans le savoir. De ces problèmes de la vie quotidienne naîtra l'inconnue. Depuis, les équations se résolvent aussi pour elles-mêmes, sans soucis du concret. Afin de percer leur mystère, le mathématicien affûte ses méthodes...

Parution: 03 - 2019

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Bib 18 - Les fractales - Réédition 2022

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La présentation de Tangente

À son évocation, le terme « fractal » fait immédiatement surgir de saisissantes images, colorées, infiniment complexes, fascinantes.
En pratique, les formes fractales restent globalement identiques à elles-mêmes, quelle que soit l’échelle à laquelle on les regarde. On les retrouve dans la nature, des côtes bretonnes déchiquetées à la forme des nuages, en passant par les fougères ou les choux romanesco. Benoît Mandelbrot, le « père des fractales »,

a oeuvré toute sa vie pour que change notre regard sur les formes qui nous entourent. En plus de générer des images magnifiques, ces objets géométriques possèdent une définition mathématique qui reste à la portée de tous. Elles ne pouvaient donc que nous séduire, au point même d’inspirer de nombreux artistes, ce qui conduit à un ouvrage très visuel avec des images de toute beauté.

Le principe des fractales se généralise dans de nombreux domaines : dans les cours de la bourse, dans les encéphalogrammes, en théorie du signal, en médecine, en sismologie, dans les statistiques, dans la consommation d’énergie d’un pays ou la fréquence des appels d’un standard téléphonique…


Le sommaire

À la découverte des fractales
Aux frontières du réel
Systèmes dynamiques et chaos
Les fractales en action
Art fractal 

Parution: 05 - 2018

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Bib 63 - Les nombres complexes

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Dossier 1 : D'où viennent les complexes ?

Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés par les mathématiciens. Ce fut également le cas des nombres complexes. À l'origine de leur -tardive -introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations algébriques, en particulier celles du deuxième degré dans le cas le plus général. C'est donc d'un besoin bien réel qu'a émergé cette idée folle d'introduire un nouveau concept, celui de nombre « imaginaire », dont le carré serait -1, un nombre strictement négatif... qui a donné naissance à la notion de complexe !

Dossier 2 : Approche algébrique
L'introduction des nombres complexes fut un acte d'une audace intellectuelle et d'une hardiesse inouïes. Elle a débouché sur un concept puissant, la structure de corps algébriquement clos, c'est-à-dire d'ensemble muni de deux opérations dans lequel toute équation algébrique admet une solution. Mais les complexes ne peuvent pas tout ! Même pour les polynômes à coefficients réels, certaines conjectures, pourtant élémentaires à énoncer, restent aujourd'hui hors d'atteinte...

Dossier 3 : Représentations géométriques

À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. Dans la mesure où un nombre complexe peut être identifié à un point du plan, une puissante relation entre algèbre et géométrie a vu le jour. Cette représentation permet d’« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d’un point qui se déplace...
Homothéties, similitudes, inversions et autres homographies reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple ; elles deviennent aisément manipulables. Grâce à l’outil puissant des nombres complexes, des résultats de géométrie peuvent se démontrer, voire être découverts, comme le théorème de Marden. Des notions, comme celle des fractales, peuvent être mises en valeur. Un logiciel de géométrie dynamique devient alors un outil fantastique pour de telles explorations.

Dossier 4 : Analyse et trigonométrie

Les nombres complexes ont permis une extraordinaire correspondance entre des domaines des mathématiques qui paraissaient lointains : algèbre et géométrie, on l’a vu, mais aussi analyse et trigonométrie, qui s’en sont trouvées totalement bouleversées. En autorisant la variable d’une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore aux accents grecs (gamma, zêta...) dont personne n’aurait pu imaginer la richesse. L’exponentielle s’est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie, dont les formules deviennent accessibles à tous ! La fonction zêta fait maintenant miroiter mille merveilles, notamment au sujet des nombres premiers. Mais gare au téméraire qui abordera l’hypothèse de Riemann : le million de dollars promis pour sa démonstration témoigne à lui seul de l’ampleur et de la difficulté de la tâche...

Dossier 5 : Applications

« À quoi servent les mathématiques ? » est une question que certains continuent à poser. Alors, les nombres « imaginaires », n’en parlons pas... Et pourtant, sans les nombres complexes, il y a fort à parier que les scientifiques n’auraient pas trouvé ces nouveaux algorithmes puissants qui permettent de multiplier extrêmement rapidement deux nombres gigantesques, réduisant de manière considérable les temps de calcul des ordinateurs. De même, sans les complexes, la théorie de l’électricité, cette fée dont plus personne ne saurait se passer aujourd’hui, ne serait probablement pas aussi cohérente. Et l’on serait bien en peine de concevoir des ailes capables de porter un avion dans les airs, ou de modéliser finement les trajectoires des planètes...

Parution: 01 - 2018

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Bib 62 - Mathématiques et économie

Les principaux dossiers :
• Le triangle économie, mathématiques et politique
• La macro-économie
• La micro-économie
• Rencontres entre économie et mathématiques
• Une science statistique

Parution: 12 - 2017

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Bib 61 - La théorie des ensembles

L'ouvrage

La théorie des ensembles a laissé un souvenir à tous ceux qui sont passés par les « maths modernes ». Son cadre axiomatique, que certains ont pu percevoir comme rigide, permet de « dérouler » l'ensemble du savoir mathématique. Comment ? C'est ce que propose de découvrir cet ouvrage en levant le voile sur l'origine et la construction de cette théorie.
Tout est parti d'un malaise scientifique profond, la crise des fondements. L'édifice mathématique, que l'on croyait solide et inaltérable, était en fait morcelé de contradictions et d'objets mal définis ! L'introduction des ensembles à la fin du XIXe siècle a permis d'assainir la situation, tout en donnant naissance à son lot de paradoxes, d'impossibilités, de situations défiant l'intuition...
Un ensemble est une collection d'objets entre lesquels peuvent exister des relations diverses. C'est ainsi qu'émergent les notions de structures et de fonctions, qui régissent la majorité des concepts mathématiques. La construction des nombres et une nouvelle approche de la géométrie en découlent de manière naturelle. Une telle simplicité conceptuelle confère aux ensembles et aux fonctions une efficacité redoutable !
Aux fondements des
Mais choisir les bons axiomes pour développer la théorie des ensembles et décrire les mathématiques (et, au-delà, toutes les sciences !) n'est pas une mince affaire...

Le sommaire

Dossier : Histoire d'une théorie révolutionnaire
La théorie des ensembles est l'archétype même d'une théorie structurante. Cette architecture abstraite n'est pas sortie de nulle part : elle trouve son origine dans des problèmes relatifs aux fondements des mathématiques durant le XIXe siècle.

L'œuvre mathématique de Bourbaki - Une approche des mathématiques qui dérange - Lewis Caroll, vers la logique moderne - Premières utilisations des ensembles - Le jeu de Dobble - Borges, la Bibliothèque de Babel - L'hôtel de Hilbert

Dossier : Ensembles, relations, applications : une nouvelle approche
Au-delà de leur représentation naïve en «patatoïdes» connue sous le nom de «diagrammes de Venn», les ensembles offrent un cadre à une formalisation rigoureuse applicable à tous les domaines des mathématiques.

De la collection d'objets à l'ensemble - L'ensemble et ses parties - Les diagrammes en patate, une idée qui donne la frite - Relations et applications : structurer les ensembles - Éblouissantes relations binaires - La médaille Hausdorff - Construire des nombres, une histoire au long cours - Un pour un - Le nom des éléments d'un ensemble

Dossier : Opérations, structures, nombres
Les nombres sont au centre de l'édifice mathématique. Après un long règne de l'intuition, le besoin d'une axiomatique rigoureuse s'est fait sentir. Celle introduite par Péano pour définir les entiers naturels en est le plus bel exemple. Les opérations, elles aussi, entrent dans un cadre structurel d'une grande richesse.

Kurt Gödel et l'indécidabilité - Adhérez aux groupes ! - Qu'est-ce qu'un groupe ? - La dimension fractale de l'ensemble triadique - La naissance des concepts algébriques - L'algèbre logique de George Boole.

Dossier : Infini et paradoxes
Une étude des axiomes sur lesquels la théorie des ensembles est fondée fait émerger la notion d'infini, mais aussi des paradoxes : un ensemble peut-il être membre de lui-même ? Combien de types d'infinis existent-ils ?

Une brève histoire de l'infini - Georg Cantor : passer du fini à l'infini - La multiplicité des infinis - Le roman de Lotfi Zadeh - Les ensembles flous : modéliser les appartenances incertaines - John von Neumann, mesure et démesure

Dossier : Axiomatique
On reproche souvent à la théorie des ensembles son caractère formel, abstrait, axiomatique. Pourtant, de nombreuses richesses émanent d'un cadre général que l'on pourra décliner selon les envies et les besoins !

Mais que sont les axiomes ? - La tentative de Zermelo pour éliminer les paradoxes - L'axiome du choix, si naturel, et pourtant si étonnant... - L'axiomatisation du hasard - Aux sources de la topologie - Dix problèmes en patates

Parution: 07 - 2017

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Bib 60 - Mathématiques et architecture

L’ouvrage
On pourrait s’attendre à ce que les liens qui se sont tissés entre mathématiques et architecture soient de nature purement géométrique. Il est étonnant de voir que de nombreux autres domaines sont aussi concernés : celui des nombres et des proportions (où l’on trouve le fameux nombre d’or), celui de la réalisation d’outils rationnels précis, et même celui de l’arbitrage entre l’exactitude et l’esthétique.

La collection et les auteurs
Bibliothèque Ta n g e n t e est LA collection de prestige de la culture mathématique, la référence de tous les lecteurs scientifiquement curieux. Avec plus de 50 titres, des contenus soigneusement dosés pour être accessibles au plus grand nombre, une mise en page luxueuse, elle propose une nouvelle façon de découvrir le monde ! L’équipe de Tangente, dirigée par Gilles Cohen et Bertrand Hauchecorne, comporte les meilleurs auteurs français de vulgarisation mathématique.


SOMMAIRE


Luca Pacioli : le point sur De divina proportione / Les leçons d'architecture de Michel Cantal-Dupart

Dossier 1 : Le beau et l'exact

Pourquoi serait-on obligé de ne penser les maths de l'architecture que sous l'angle de la rigueur? L'imaginaire a envahi les plans d'architectes. Délimiter la place de l'esthétique dans la construction, c'est aussi fixer le rôle de chacun au profit de l'oeuvre.

Les deux sortes de beauté de Christopher Wren / L'harmonie des proportions / Proportions humaines et nombre d'or : le Corbusier / L'expo 58 à Bruxelles / De l'Art nouveau à l'Art déco / Une sphère parmi les lignes : la Géode / Vladimir Choukhov, le père des structures hyperboliques / La tour de Babel / Santiago Calatrava : des gares, des tours et des ponts

Dossier 2 : La place des maths dans l'architecture

Depuis l'Antiquité, les maths sont un partenaire indissociable de l'architecture. Ces liens, qui reposent sur des considérations pratiques et scientifiques, ont été bouleversés par l'arrivée de l'outil informatique.

Maths et architecte au cours des siècles / Brunelleschi : un contenu scientifique et technique / La géométrie selon Villard de Honnecourt / Nouvelle : la tour infernale du professeur Phi / Yona Friedman, ambassadeur du diagramme / L'architecte face aux maths / Ouvrages classiques : peu de contenus mathématiques…/Vauban et les fortifications / Architecture et numérique, une mathématisation de l'espace / Jean -Louis Brahem , un architecte inspiré par les maths

Dossier 3 : Le nombre, l'espace et la forme

Le choix de la forme d'un bâtiment, les schémas et dessins préparatoires, les questions de rapport entre les différentes dimensions d'une construction sont des aspects fondamentaux de la démarche de l'architecte.

Léonard de Vinci : math et constructions / Les proportions de Nikos Salingaros / Visite d'un bâtiment … de la quatrième dimension! / La géométrie cachée d'Andy Goldsworthy / Le monde sur un dessin : la perspective / Richard Buckminster Fuller, touche-à-tout de génie

Dossier 4 : Des maths utilitaires

L'architecture s'étend bien au-delà de la construction de bâtiments. Les ponts, les huttes, les échafaudages tirent aussi leur solidité du respect de quelques règles de physique mathématique.

Le métacentre en architecture navale / Les ponts suspendus / Le cône de Greenwich / Des maths au service de solutions sociales / Construire avec des losanges ! / Une petite histoire de la géométrie descriptive / Béton armé et surfaces réglées / Fabien Vienne, la géométrie par le jeu

Dossier 5 : Courbes et surfaces

L'architecture fait appel à des courbes et des surfaces dictées par le besoin de solidité des édifices. Ainsi apparaissent dans nos paysages urbains des formes aux propriétés intéressantes, comme des cercles, des chaînettes ou des hyperboles.

Courbes et surfaces architecturales / L'hyperboloïde, amie des architectes / Histoire des voûtes / Des voûtes à la règle et au compas / La surface de Guimard / Zaha Hadid, architecte de l'impossible / La chaînette, l'élégance faite courbe / La gare de Liège -Guillemins / Quelques états du pentagone / L'architecture non standard

Et toujours

Problèmes et solutions

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Bib 59 - La droite

La collection et les auteurs

Bibliothèque Ta n g e n t e est LA collection de prestige de la culture mathématique, la référence de tous les lecteurs scientifiquement curieux. Avec plus de 50 titres, des contenus soigneusement dosés pour être accessibles au plus grand nombre, une mise en page luxueuse, elle propose une nouvelle façon de découvrir le monde ! L'équipe de Tangente, dirigée par Gilles Cohen et Bertrand Hauchecorne, comporte les meilleurs auteurs français de vulgarisation mathématique.

SOMMAIRE


Dossier 1 : La droite réelle

Représenter les nombres réels comme les points d'une droite est une idée qui a bouleversé la géométrie autant que l'analyse. Depuis Descartes, qui repère les points du plan par deux nombres, on sait mettre une droite en équation!

La droite des nombres: des définitions contre l'intuition / Géométrie ou nombres’ / Descartes et les coordonnées / La droite topologique / La droite, en long et en large / Colorier la droite

Dossier 2 : La droite géométrique

Depuis Euclide, la droite est la base de la géométrie. Toutes les figures en contiennent, nombre de théorèmes énoncent que certains points sont alignés. On s'émerveille devant des droites remarquables, comme celle d'Euler.

Un point d'histoire de la droite / Euclide : une introduction de la droite / Miraculeux théorèmes d'alignement!/ Les tangentes et les asymptotes / La droite de Simson et sa généralisation / L'alignement de Pappus / Pascal et l'hexagramme mystique


Dossier 3 : Construire une droite

La règle et le compas sont les instruments rois de la géométrie. Souvent cependant, le rôle de la règle est négligé. Que de richesses géométriques, pourtant, elle est capable d'offrir au mathématicien curieux!

Trouver une droite : pas si simple! / La géométrie de la règle / La règle à calcul / Tracer une droite… sans la règle! / Tracer des parallèles / Construction d'une droite sur ordinateur / Partager un segment ou un angle / Transformer la droite / Un drôle d'alignement : le plan de Fano

Dossier 4 : La droite comme outil

Réfléchir sur des points alignés donne naissance à des jeux passionnants, de type Puissance 4. La droite peut aussi être source d'étonnement : elle fascine ou donne la migraine à ceux qui essaient de comprendre les illusions d'optique…

Antoine Pevsner : honneur à la droite / Alignement et barycentre / Et si toutes les droites étaient orientées’ / La droite des moindres carrés / Quand l'alignement est un jeu / Droite et illusions d'optique

Dossier 5 : Nouvelles lignes d'horizon

Géométrie euclidienne, géométrie projective : chaque vision nouvelle étend le concept de la droite. La notion de "plus court chemin" fait entrevoir la notion de géodésique, avec son lot de surprises et de problèmes amusants.

La droite projective : une fructueuse mise en perspective / Des surfaces… faites de droites ! / Un point de vue radical sur les cercles / Harmonieux faisceaux de droites / Des enveloppes caustiques / Les vingt-sept droites d'une cubique / Faisceaux de droites / Les droites dans les espaces courbes : les géodésiques / Les droites du disque de Poincaré

Et aussi

Définition de la droite au cours des âges / Un peu de sémantique / Mathématiques récréatives / Ces droites qui ont un nom / Nouvelle : la droite amoureuse du cercle

Et toujours

Notes de lecture, problèmes et solutions

Parution: 03 - 2017

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Bib 58 - Mathématiques et médecine

SOMMAIRE

La place grandissante des mathématiques dans les études de médecine / Les débuts difficiles de la statistique médicale / La carte du cerveau


Dossier 1 : Modèles et épidémiologie

La transmission externe des virus comme la propagation interne des microbes peuvent être modélisées par les systèmes dynamiques. Les mathématiques contribuent ainsi à juguler voire éradiquer des maladies.

Histoire de modèles / La propagation des épidémies / Daniel Bernoulli et la modélisation de la variole / Le modèle de Ross : une explication de l'extension du paludisme

Dossier 2 : Statistiques pour le diagnostic

Que ce soit pour comparer les effets de médicaments différents, pour déterminer un indice de masse corporelle idéal ou pour quantifier la fiabilité d'un test, le recours aux raisonnements probabilistes et statistiques se révèle indispensable!

Diagnostic, les raisonnements médicaux / Aider à la détection de l'ostéoporose / L'indice de masse corporelle / Etienne Hatvani, aux origines de la statistique hongroise / Le théorème de Bayes, un outil pour le médecin / Markov: les chaînes de l'espoir / Deux paradoxes statistiques en médecine / Odds-ratio : les risques relatifs / Médicament versus placebo / Gérer les carences ou les excès en taux d'iode


Dossier 3 : Contre le cancer

Tout n'a pas été tenté contre le cancer, loin s'en faut. Depuis une trentaine d'années, les mathématiciens s'n mêlent. Les modèles à base d'équations différentielles et d'équations aux dérivées partielles commencent à produire des résultats thérapeutiques spectaculaires.

Un modèle probabiliste pour l'immunothérapie du cancer / Benoît Perthame : "Comprendre les résistances aux thérapies anticancéreuses" / Des équations différentielles en oncologie / Les lois de la croissance tumorale / Une modélisation mathématique de l'évolution d'un cancer métastatique

Dossier 4 : Nouvelles techniques médicales

La géométrie, l'analyse de Fourier, la théorie des ondelettes ou encore l'analyse de données sont quelques branches des mathématiques qui sont sollicitées pour mettre au point des technologies innovantes dans les domaines de l'imagerie ou de la robotique.

Les maths en imagerie médicale / Imagerie médicale, les maux en images / Les objets de santé connectés / Les maths du coeur

Et aussi

Les médecins matheux / La saga des courbes médicales / Nouvelle : la pustulite versicolore palpitante

Et toujours

Problèmes et solutions

Parution: 04 - 2016

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Bib 57 - Les mathématiques des assurances

SOMMAIRE

Mathématiques des assurances : les mal aimées’ / Analyse, probabilités, statistiques : pour comprendre l'assurance / Des actuaires et des journaux

Dossier 1 : Les secrets de l'assurance vie

Les premières rentes viagères datent de l'Antiquité. Que de chemin parcouru pour aboutir au panel de contrats d'assurance vie dont on dispose aujourd'hui ! Pour arriver à proposer des produits adaptés à chaque profil, il n'y a pas de secret : il faut disposer de données fiables.

Naissance et évolution des tables de mortalité / Comprendre les tables de mortalité / Ajuster les tables de mortalité aux observations / La tarification des assurances vie classiques / Mortalités prospectives

Dossier 2 : Couverture accident

Les particuliers essaient de mettre leurs proches à l'abri, les entreprises tentent de se prémunir contre les risques financiers ou ... climatiques! Comment les assureurs évaluent-ils les primes associées à chaque type de couverture?

Les risques maritimes à l'origine des assurances / Prendre en compte les événements rares, des modèles en cascade / Comment tarifer a priori... sans a priori / La tarification a posteriori, une belle application des chaînes de Markov / La prime technique : pour une tarification efficace / Nouvelle : à l'Institut intergalactique, on assure !

Dossier 3 : Les horizons nouveaux

Notre société est de plus exigeante en matière de couverture de risques, et de nouveaux champs d'application des assurances apparaissent régulièrement. Les produits classiques doivent évoluer vers plus de flexibilité.

Se protéger contre les risques météorologiques / Le Big Data en assurance, des perspectives étonnantes / Produits d'assurance vie de nouvelle génération / Assurance vie ou épargne ? Les produits Universal Life / Les contrats en unités de compte / L'assurance dépendance


Dossier 4 : Gérer des réserves, éviter la ruine

Les premiers calculs mathématiques d'une prime d'assurance équitable ont abouti... à des faillites! C'est le problème du provisionnement qui n'avait pas été bien évalué.

Provisionner et gérer ses réserves / Couvrir le règlement des sinistres, un défi pour l'assureur / Les compagnies d'assurance risquent- elles la faillite ? / Srinivasa Varadhan et les événements rares / Fortis, Dexia : les conséquences d'une mauvaise gestion / Il y a garantie et garantie /La gestion actif-passif

Dossier 5 : Les retraites

Le vieillissement des populations est un fait. Les systèmes de retraite doivent évoluer pour équilibrer cotisations des actifs et paiements des retraités, à qui il faut garantir une fin de vie digne.

Un vieillissement irréversible de la population / Répartition ou capitalisation’ Les clés pour comprendre / Entre capitalisme et solidarité, un choix de société / Les fonds de pension : késako ? /Les fonds de pension américains / Retraites en Belgique : à la découverte des trois piliers / Retraites : quel modèle pour l'évolution des mortalités’

Et toujours

En bref - notes de lecture - problèmes et solutions

Parution: 05 - 2016

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Bib 56 - Les fonctions

La notion de fonction, omniprésente dès les origines des sciences, se précise au XVIIe siècle pour les besoins de la physique.
Il devient alors possible, grâce au calcul infinitésimal, d'étudier les trajectoires, vitesses et accélérations d'objets en déplacement, comme les billes... ou les planètes.
L'intuition physique doit alors faire place à la rigueur d'un raisonnement mathématique. C’est l’occasion pour Newton, Leibniz et Bernoulli de mettre en évidence le concept sur lequel s’appuyer : celui des fonctions, précisément !

SOMMAIRE

Petit voyage à travers les âges : de l'expression à la fonction

Dossier 1 : Le concept de fonction

Une fonction f est un processus, une "boîte noire", qui, à partir d'un objet x pris dans un ensemble E, en fait correspondre un autre. Essayer de formaliser précisément cette idée naïve s'est révélé une belle gageure : des Babyloniens à Euler en passant par Newton et Leibniz, personne n'a su proposer une définition qui fasse l'unanimité!

Fonction ou application’ / Vous avez dit "affine"? / Fonctions + itérations = fractales / Les fonctions dans la nature / Les fonctions en informatique

Dossier 2 : Continuité, dérivabilité, primitive

La notion de dérivée d'une fonction en un point est un concept directement issu de la physique, qui permet d'exprimer de manière quantitative la vitesse d'un mobile à chaque instant. Il n'est pas vrai que toute fonction continue soit dérivable; il est moins facile d'imaginer qu'il existe des fonctions continues qui ne sont dérivables en aucun point!

Continuité locale, continuité sur un intervalle / Provocantes fonctions discontinues / La controverse des cordes vibrantes / Effet de seuil : les aberrations de la discontinuité / Le théorème des valeurs intermédiaires / De la tangente à la dérivée / Souvent, fonction varie.../ Résoudre des équations : le théorème de Rolle à la rescousse / Approximations et dérivées successives / Interpoler, extrapoler et approximer : trois idées complémentaires / Une approche primitive de l'intégration

Dossier 3 : Courbes, graphes, équations

Pour les algébristes de la Renaissance, la fonction est une sorte de "formule magique" qui permet d'obtenir une solution à une équation polynomiale. Avec l'arrivée des solution à une équation polynomiale. Avec l'arrivée des coordonnées, les fonctions se transforment en graphiques, en courbes, en surfaces... avant de devenir plus abstraites.

Courbes et fonctions / Des courbes pour dessiner / Équations algébriques : une histoire sans fin! / Équations différentielles et variations / Les fonctions de plusieurs variables / Quand la relation n'est pas bien définie : les fonctions implicites

Dossier 4 : Nom d'une fonction !

Les fonctions sont la dynamique des maths. Elles nouent des relations entre les nombres, les figures géométriques, les structures algébriques ...Les classifier en fonction de leur spécificité s'est naturellement imposé. Cette nomenclature a permis d'immortaliser les patronymes de savants comme Euler, Lagrange ou Tchebychev.

Ces incontournables fonctions polynomiales / Les fonctions trigonométriques/ Discrètes et fondamentales : les fonctions arithmétiques / Euler et la postérité de son indicatrice / Monstrueuses fonctions! / Les séries de fonctions / Une nouvelle approche combinatoire : les fonctions génératrices / Les variables aléatoires / Les fonctions spécifiques aux statistiques / Analyse fonctionnelle : les opérateurs sont dans la place / Les distributions de Schwartz

Et aussi

Les fonctions dans la vie courante / Fonctions et manipulation / Elles ont un nom

Et toujours

En bref - Note de lecture - problèmes - solutions

Parution: 11 - 2015

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Bib 55 - Les démonstrations

Dossier : Les fondements de la preuve

La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait à elle seule la spécificité des mathématiques, la différenciant des autres sciences. Tout au long d'une longue histoire, qui remonte aux Grecs de l'Antiquité et qui continue à s'écrire aujourd'hui, la recherche d'une justification, d'une preuve, d'une démonstration, a constitué l'activité qui caractérise le mathématicien.

Dossier : Les grands classiques

Les différents modes de démonstration sont aujourd'hui bien établis. Certains datent de l'Antiquité, d'autres sont nés en France au XVIIe siècle. Le raisonnement par récurrence, qui est selon Henri Poincaré « une propriété de l'esprit lui-même », est plus récent. Tout l'art est de comprendre quelle technique de raisonnement s'appliquera à un problème donné...

Dossier : De nouvelles formes de preuves

Si les bases de la logique sont désormais bien établies, de nouveaux outils pour la démonstration continuent à être introduits en mathématiques. L'arrivée des ordinateurs pose plusieurs questions fondamentales: les algorithmes utilisés produisent-ils toujours un résultat, ou peuvent-ils boucler sans fin ? Peut-on distinguer un problème « facile » d'un problème « difficile»?

Dossier : Les apports de l’informatique

L'informatique théorique est la science qui nous a le plus obligés à repenser la notion de preuve. Les analogies entre démonstration mathématique et programme informatique sont maintenant bien établies. L'ordinateur offre des moyens de calculs inédits. Il devient même possible de certifier qu'une preuve mathématique est effectivement valide.

Parution: 08 - 2015

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Bib 54 - Les graphes

SOMMAIRE


Les onze états du taureau de Picasso / Tous les chemins mènent à Königsberg


Dossier 1 : Les types de graphes

Quelques points et des traits pour les relier suffisent à créer un graphe. Une idée aussi simple se devait d’engendrer un monde foisonnant d'objets: les idées les plus élémentaires sont souvent les plus riches!

Les graphes planaires / Quand les chemins ne se croisent pas / Gardons le sens de l'orientation et restons pondérés! / Obstruction et stabilité / Les matrices entrent en scène / Le graphe de l'amitié et le moulin à vent / Des arbres au secours des probabilités / Des graphes et des surfaces à partir d'un carré / Le théorème des quatre couleurs / Colorier, un défi innocent et redoutable / Le théorème des graphes parfaits / Cliques et théorème de Turan/ La formule d'Euler et les solides de Platon / Le polyèdre de Czàszàr, un monstre topologique / Diagrammes de Schelegel : les polyèdres sont des graphes!

Dossier 2 : Des applications à la vie quotidienne

De par leur structure purement topologique, les graphes sont un puissant outil d'aide à la décision. Ils sont utiles pour planifier et ordonnancer les tâches dans une chaîne de production, gérer les priorités dans un projet, ou hiérarchiser les étapes dans une suite d’instructions informatiques...

La fourmi et le problème du voyageur de commerce / Un projet dans le bon ordre, la méthode PERT /L'algorithme de Dijkstra / Quand le chemin se joue aux dés / Un problème de téléphonie mobile / Desa rbres pour faire passer les trains / Comment éviter les bouchons / Un arbre pour le théâtre / Entre sens et texte / Les livres dont vous êtes le héros

Dossier 3 : Dans L'informatique

Que serait la théorie des graphes aujourd'hui sans l'informatique ? Qu'il s'agisse de trier des données, de compresser des fichiers ou de rechercher un mot dans un texte, on retrouve partout une structure de graphe dans un ordinateur.

Parler à son ordinateur / Retrouver un mot dans un texte / Les réseaux de neurones / Des listes autrement qu'en ligne / Des arbres à compresser

Dossier 4 : Jeux de graphes

La théorie des graphes permet de comprendre, voire de résoudre une grande quantité de jeux de réflexion ou de jeux mathématiques et logiques, parfois de manière inattendue (voir à ce sujet le numéro 46 de la Bibliothèque Tangente). A contrario, les graphes peuvent être à la source d'une catégorie de récréations dont les plus classiques sont des problèmes de labyrinthes.

Arbres, jeux et stratégies / Graphes sur un échiquier / Algorithmes en graphes / Graphes et labyrinthes / Résoudre des énigmes à l'aide des graphes / Jeux et problèmes / Solutions et en bref

Parution: 01 - 2015

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Bib 53 - Les angles sous tous les angles

SOMMAIRE


Angles corniculaires et de demi-cercle chez Euclide / D'Euclide à Hilbert / Les multiples personnalités de l'angle / L'angle, un concept ambivalent / Quelques inégalités angulaires / Dans le triangle / Les angles opposés par le sommet


Dossier 1 : Les angles en géométrie classique

Chacun de nous les a rencontrés à l'école et pense tout savoir d'eux, qu'ils soient exprimés en grades, degrés ou radians. Les outils qui permettent de les construire sont connus de tous : règle, compas, rapporteur … Pourtant, la notion d'angle n'est pas si simple, à commencer par sa définition!

Le théorème de l'angle inscrit / Les rotations et symétries, des transformations qui tournent bien / Tous les triangles sont-ils équilatéraux? / le billard, une affaire à rebondissements / Sous l'angle des symétries / Angles et lunules quarrables / L'exponentielle complexe / Courbes orthoptiques et friandises géométriques / Les transformations conformes

Dossier 2 : La trigonométrie

La trigonométrie n'a pas toujours bonne presse. Elle est pourtant d'une importance capitale pour se repérer , tant en mer que dans l'espace. L'approche géométrique des nombres complexes lui a donné ses lettres de noblesse.

Du théorème de Pythagore à une formule de trigonométrie / Le théorème des sinus / Angles, fonctions hyperboliques et génie électrique / Angles, produit scalaire et orthogonalité / L'astronomie, grande consommatrice de trigonométrie


Dossier 3 : Mesurer les angles

Le plus simple pour mesurer un angle est de prendre son rapporteur. Très bien, mais comment mesurer des angles sur le terrain, entre des éléments de paysage? Ou en mécanique de précision’ Ces questions nécessitent de revenir au sens physique de l'angle.

D'où nous viennent les degrés / La mesure des angles / L'arc de sinus, d'al-Khawarizmi à Apian / Le dos de l'astrolabe, alidade et carré des ombres / L'astrolabe planisphérique / Faisons le point…/ Des angles dans tous nos outils / Des phases qui nous font tourner la tête!

Dossier 4 : La géométrie dans l'espace

Dans l'espace, la notion d'angle solide s'inspire de celle d'angle du plan. À la différence près que si les rotations du plan sont aisées à comprendre, leurs homologues en trois dimensions ne se laissent pas appréhender de la même manière…

L'angle solide / Les systèmes élémentaires de coordonnées / Des géométries sous un nouvel angle / Les coordonnées géographiques / Toutes latitudes / Les rotations, si simples avec les quaternions!/ Quand les atomes s'organisent / Une notion d'angle même dans des espaces très abstraits

Et toujours

En bref, le dictionnaire des angles, notes de lecture, références, problèmes et solutions

Parution: 07 - 2014

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Bib 52 - Mathématiques & Informatique

SOMMAIRE

La Société informatique de France / Le Prix Bernard Novelli / Les perspectives de l'informatique au XXIème siècle / Informatique, popularisation et médiation / Intelligence artificielle et philosophie


Dossier 1 : Mathématiques pour l'informatique

L'informatique n'existerait pas sans les mathématiques. Les procédures qu'elle utilise, les algorithmes et les structures de langage qui permettent la programmation, la vérification de programme s'appuient sur des théories mathématiques dont certaines ont été algèbre de Boole, notion de complexité ont apporté à l'informatique le support théorique qui en fait une science à part entière.

La préhistoire de l'informatique / Babbage et le premier ordinateur potentiel / Le programme de Lady Ada King / Les messages qui se corrigent tout seuls / Alonzo Church, Alan Turing et la calculabilité / Algèbre de Boole / Langages et récursivité / Langages rationnels et automates finis / Complexité de Kolmogorov et profondeur logique de Bennett / Comment éliminer les spams

Dossier 2 : Informatique pour les mathématiques

Comme toute progéniture reconnaissante, l'informatique a bien rendu aux mathématiques ce qu'elle leur droit. L'expérimentation, la simulation, le calcul haute performance, la démonstration automatique sont quelques-unes des nombreuses portes ouvertes par l'informatique aux mathématiques.

Mathématiques expérimentales / Les automates cellulaires et le jeu de la vie / Démonstration, l'ordinateur à la rescousse / Espaces de Banach et informatique théorique / Le problème fondamental de l'informatique théorique: P est-il égal à NP? / La simulation numérique / Le calcul haute performance / Quelques problèmes de calculs


Dossier 3 : Des applications qui changent le monde

Mathématiques et informatique, une équipe gagnante. Que d'applications de ce partenariat talentueux voient régulièrement le jour! Compression des images, cryptographie, sécurité informatique…
L'utilisation des modèles mathématiques sophistiqués agissant sur les données massives ( en finance, biologie, commerce…) fait même débat dans la mesure où elle pose des questions d'éthique inédites.

Images numériques, du pixel à la topologie / La méthode de Monte-Carlo : application à un investissement financier / Pirater un site ou une messagerie / Limiter la collecte des données personnelles : un problème juridique NP - difficile / Le langage des molécules du vivant / GroLopin et les plans projectifs finis / Le traitement du signal / Protégez-vous des hackers! / Le Cloud / Le classement des pages par les moteurs de recherche / Entre le robot et l'homme, les mathématiques / La cryptographie, à l'origine de l'informatique


Et toujours

En bref, problèmes, solutions et notes de lecture

Parution: 02 - 2014

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Bib 51 - Mathématiques, de l'esthétique à  l'ethique

Dossier : La beauté intrinsèque des mathématiques

Tous les mathématiciens vous le diront: les mathématiques sont belles. Il est cependant parfois difficile pour le profane de saisir le sens d'une telle affirmation. Qu'est-ce qui peut susciter le sentiment esthétique dans un domaine aussi abstrait’

Dossier : La beauté artistique révélée par les maths

Qu’ils soient peintres, poètes ou compositeurs, nombre de créateurs utilisent, consciemment ou non, des processus qui peuvent être analysés grâce aux mathématiques. La littérature et la musique s’y prêtent à merveille, mais, au-delà de la symétrie, la photographie et les arts plastiques permettent des dialogues inattendus avec les mathématiques.

Dossier : Éthique et mathématiques

Les mathématiques sont peut-être, plus que toute autre discipline scientifique, un trait d’union privilégié entre le beau et le bon. Leur utilisation dans des sujets sensibles comme la guerre, la finance ou l’assurance-vie, le rôle d’outil de sélection qu’elles jouent dans l’enseignement, peuvent alors être questionnés.

Dossier : Éclectique Jacques Bair

À l’occasion du départ à la retraite de Jacques Bair, Tangente consacre un court dossier à l’un de ses collaborateurs les plus dévoués, qui s’est investi corps et âme dans la diffusion des mathématiques en s’appuyant sur ses passions (ses « tics » diraient certains):l’analyse non standard et les mathématiques de la gestion.

Parution: 03 - 2014

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Bib 50 - Le calcul intégral

SOMMAIRE

Aux origines de l'intégrale / Newton vs Leibniz / L'accueil mouvementé du calcul intégral / De Cauchy à Lebesgue / Le surplus du consommateur / L'intégration en physique / L'Able intégrale

Dossier 1 : L''intégrale de Riemann

L''intégrale, outil analytique par excellence, répond à l''origine à un besoin de nature géométrique: calculer l''aire délimitée par des courbes du plan.

Aire et intégrale / La quadrature de la cycloïde / La construction de l'intégrale de Cauchy / Les sommes de Darboux et de Riemann / L'intégrale de Riemann / L'intégrale pour mesurer des grandeurs / Les formules de la moyenne

Dossier 2 : Les bases du calcul intégral

Une fois l''intégrale définie et son usage délimité, se pose la question de son calcul. Si certaines méthodes n''exigent qu''un minimum de technique, la plupart des intégrales nécessitent un calcul qui passe par la détermination de primitives de la fonction à intégrer.

De la primitive à l'intégrale / L'intégration par parties / La technique du changement de variable / Les règles de Bioche / Les méthodes de quadrature /Les méthodes de quadrature / Calcul approché d'intégrales / Les méthodes de Monte-Carlo / Les théorèmes de Guldin / L'élégance de l'intégration terme à terme / La formule de Wallis

Dossier 3 : Extensions de la notion d''intégrale

L''histoire de l''intégrale ne s''arrête pas avec Riemann, ni même avec Lebesgue! Sa construction non plus. De nombreux mathématiciens ont cherché à étendre la notion d''intégrale à des classes de fonctions de plus en plus générales, pour simplifier la présentation ou pour les besoins d''une application.

Les intégrales multiples/ L'intégrale de Stieltjes / Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue / Y a t-il une intégrale après Lebesgue? / Le passage difficile de l'intégrale de Riemann à l'intégrale stochastique / Dérivées et intégrales dans le monde des 0 et des 1 / Intégration dans le plan complexe : le théorème des résidus / La puissance de l'intégration fractionnaire / Les intégrales de Coxeter

Dossier 4 : L''intégrale en analyse

L''intégrale est omniprésente en mathématiques et dans les applications. Elle intervient aussi bien en physique qu''en théorie du signal ou en tomographie, et dans pratiquement tous les domaines de l''ingénierie et de la finance.

Convergence d'intégrales impropres / Intégrales de Fresnel, intégrale de Poisson / Suites et fonctions définies par une intégrale / Calcul de pi / Les intégrales eulériennes / La transformée de Laplace / Série et transformée de Fourier / Les atouts de la comparaison entre série et intégrale / Intégrales de bases / Le produit de convolution

Et toujours

En bref - problèmes - solutions

Parution: 11 - 2013

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Bib 49 - Les maths de l'impossible

SOMMAIRE


Impossibles ces figures’ / Littlewood, le mathématicien qui tutoyait l'impossible

Dossier : 1 C'est impossible, on l'à montré!

De nombreux problèmes datant de l'Antiquité ont été prouvés insolubles, alors même qu'ils étaient bien posés. Certains sont devenus de grands classiques.

La quadrature du cercle/ La trisection de l'angle / Impossible est-il géométrique? / Rapports d'engrenages impossibles: comment ne pas se casser les dents / Des imaginaires parfois complexes / Quand des systèmes élémentaires sont impossible / Systèmes linéaires impossibles et inverses généralisés / Raymond Queneau et les équations de degré 5 / Un découpage paradoxal et néanmoins rigoureux / Théorème d'impossibilité relatifs à des élections / Algorithmes numériques impossibles

Dossier 2 : Variations autour de la notion de preuve

Les sciences progressent souvent en posant des questions qui reflètent l'intuition de leur auteur. En mathématiques, ces questions reçoivent le nom de conjectures. Parfois des démonstrations sont fournies, mais si difficiles à reproduire qu'un doute subsiste sur leur validité. L'outil informatique peut alors être d'un grand secours.

La notion d'axiome à travers les siècles / Le statut particulier des conjectures / Les grandes conjectures / L'impossible de Gödel : la fin d'un rêve / Des preuves inacceptables ?/ Les grands théorèmes / Le monumental théorème de Feit-Thompson reçoit une preuve formelle /Quand les calculs deviennent impraticables

Dossier 3 : Ils existent, mais où sont-ils ?

En mathématiques, il est possible de démontrer que des objets existent sans jamais les exhiber. On parle alors de preuves non constructives. Cela pose sous un angle nouveau la question de l'existence en mathématique: suffit-il de définir un concept pour lui donner vie, ou doit-on explicitement le construire ?

L'échelle de l'existence mathématique / Impossibles, les événements de probabilité nulle? / Les infinitésimaux nilpotents pour l'analyse / Les fonctions réciproques / Les fonctions implicites

Dossier 4 : Jouer avec l'impossible

Il est facile, si l'on n'y prend garde, de tomber dans le piège d'un raisonnement subtilement erroné. Plusieurs paradoxes reposent sur de telles manipulations. Des esprits curieux vont alors explorer les conséquences des règles de la logique, par exemple pour résoudre un problème d'apparence impossible dont il semble que toutes les données soient manquantes.

Le problème impossible / Un problème impossible et néanmoins soluble!/ Magiciens de père en fils / Paradoxes et démonstrations paradoxales / Les bijections inattendues / On va faire un petit tour... en base 4 / Ces extraordinaires courbes de remplissage / Les jetons bicolores / L'égalité de tous les réels ou le théorème de l'impôt cible / Impossible, même à un Dieu omnipotent’ / Les chaussettes de Ramsey / Les trois dès

Et toujours

en bref - notes de lecture - problèmes - solutions

Parution: 11 - 2013

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Bib 48 - Ambassadeurs français des mathématiques

SOMMAIRE


Dossier 1 : Grands mathématiciens français

Les grands mathématiciens français ne se sont pas tous enfermés dans leur tour d'ivoire. Quelques-uns d'entre eux ont fait plus que produire de brillants résultats: ils Ont marqué leur temps et porté haut les couleurs de la France par l'influence qu'ils ont eue.

Descartes, le doute comme méthode / Pierre de Fermat, la saga d'un théorème / Blaise Pascal, entre cœur et raison / D'Alembert et la factorisation des polynômes / Joseph Fourier, la physique mathématique / Galois, génie et héros romantique / Henri Poincaré, toujours aussi actuel / La meilleure et la pire des erreurs de Poincaré / L'histoire extraordinaire de Nicolas Bourbaki / Mandelbrot, l'inventeur des fractales / Jean-Pierre Bourguignon, ambassadeur de la recherche / Cédric Villani, l'ambassadeur par excellence

Dossier 2 : Les vulgarisateurs

Ils aiment les mathématiques, mais ils ont surtout envie de les faire aimer. Pour s'adresser au public, ils ont su utiliser les facettes les plus aimables de la reine des sciences, en les déclinant pour toucher toutes les sensibilités. Portrait de quelques-uns de ces acteurs souvent peu connus.

Bachet de Méririac, le premier " passeur " / Edouard Lucas, ludographe et mathématicien / Ceux qui ont fait Tangente / Portrait : Gilles Cohen / Jean-Pierre Boudine : à propos de "UN" / Le CIJM/ Pierre Berloquin, des livres et des jeux / Les jeux du monde / Il y a autant de points sur une droite que dans un plan!/ Philippe Boulanger : plus fort qu'Einstein

Dossier 3 : Les écrivains

Ils ont un talent d'écriture reconnu, ils aiment les mathématiques et ils ont envie de le faire savoir. Certains ont été des écrivains reconnus avant de faire connaître ce goût et de contribuer à la diffusion de l'image des mathématiques. D'autres sont « matheux » à l'origine ont réussi, grâce à leur talent littéraire, à mettre en scène les mathématiques et à faire parler d'elles.

Ambassadeurs littéraires des mathématiques / Culture scientifique et culture générale : Denis Guedj, l'amant des maths/ L'invraisemblable nombre Oméga / Paul Valéry et les maths / Analogie et transport de prorpiétés / La révolution des sept ponts / Le boss des maths / La gardienne des lieux

Dossier 4 : Math Quiz

Et si on s'amusait un peu pour finir ce hors série? Avec les maths et avec la langue française? En distinguant les connaissances des idées reçues’ Douze petits questionnaires aux thèmes variés vous attendent, créés à l'occasion des 25 ans du magazine Tangente.

Le triangle / Les nombres premiers / Les maths français / Les revues et livres mythiques / Les polygones / Les courbes / Les grands théorèmes / Probabilités et statistiques / Les citations / L'algèbre / Le cercle / La trigonométrie / Solutions

Parution: 07 - 2013

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Bib 47 - La magie des invariants mathématiques

SOMMAIRE

Invariants et lois mathématiques / Des invariants pour jouer / Les invariants en linguistique / Bienvenue au pays des invariants empiriques / La loi des levées totales au bridge / Les invariants comme outils de preuve

Dossier 1 : Les invariants en arithmétique

L'un des invariants les plus élémentaires qui soient est la parité. Pourtant, il permet déjà de résoudre une multitude de problèmes et de comprendre bon nombre de casse-tête. La parité permet par exemple de comprendre pourquoi le Taquin ne peut être résolu. D'autres invariants de même nature, tels que les congruences ou la signature des permutations sont utilisés, par exemple pour confectionner des codes correcteurs d'erreurs.

Parité et congruences / Les effets magiques des invariants / Le Taquin et le nombre d'inversions / Signature d'une permutation / Compter les drapeaux et les colliers / "Ce qui ne varie pas" / Des invariants pour décrypter / Les codes correcteurs d'erreurs / Bibliographie / Problèmes / Solutions

Dossier 2 : Les invariants en géométrie

Comment distinguer les différentes géométries apparues au cours des siècles’ La réponse fournie par Felix Klein repose tout entière sur la notion d'invariant. Depuis, les invariants sont omniprésents: la recherche de points fixes, de propriétés ou de lieux fait généralement intervenir un invariant géométrique.

Transport de propriétés par les transformations géométriques / Invariance globale, invariance point par point / Résoudre le Rubik's Cube / Invariance en géométrie / L'invariant de Dehn / Le birapport / Invariance par dualité / D'où la photo a-t-elle été prise? / La caractéristique d'Euler-Poincaré / Les polyèdres de Platon sont-ils des invariants’ / Les invariants et le programme d'Erlangen

Dossier 3 : Les invariants en analyse et en typologie

L'introduction par Henri Poincaré de nouveaux inva¬riants en topologie à la fin du XIXe siècle constitue un progrès scientifique majeur. Quelques années plus tard, Emmy Noether explique comment les lois de la physique découlent de la recherche d'invariants mathématiques.

théorèmes de point fixe / Les suites récurrentes et le point fixe / La méthode de la descente infinie de Fermat / Un déterminant discriminant / Les règles d'intégration de Bioche / Les invariants topologiques / Invariants en théorie des nœuds / Emmy Noether et les invariants en physique / Les invariants de classe, au service de la qualité logicielle

Et toujours

en bref - notes de lecture

Parution: 02 - 2013

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Bib 46 - Théorie des jeux

SOMMAIRE


Les échecs et les grains de riz / La naissance de la théorie des jeux / Les frères ennemis / Une typologie des jeux

Dossier 1 : Les jeux à information complète

Les jeux qui se prêtent le plus naturellement à une étude théorique sont les "duels de réflexion pure à information complète", qui opposent deux joueurs disposant de toute l'information à chaque instant et ne faisant pas appel au hasard. Les échecs, les dames, les jeux de Nim en sont des exemples.

Un graphe pour représenter un jeu / Les jeux de Nim / Information parfaite ou imparfaite / Les jeux de Nim infinis / Martin Gardner et ses successeurs / Les premiers paradoxes

Dossier 2 : Les jeux à l'information incomplète

Qu'est-ce qui va bien pouvoir différencier les "jeux à information incomplète " des duels de réflexion pure à information complète ? On le devine aisément : c'est soit l'intervention du hasard, soit l'asymétrie de l'information disponible pour les différents joueurs!

Les jeux à information incomplète / La vente du billet de cent euros / Le désastre de Waterloo / La stratégie moderne / Les ventes aux enchères / L'auteur, le texte, le lecteur : trois joueurs / Les jeux de lutte et de coopération / L'équilibre de Cournot

Dossier 3 : Les probabilités dans la théorie des jeux

L'une des composantes de nombreux jeux est le hasard. Et qui dit hasard dit probabilités. Mais qu'il soit possible d'étudier les composantes aléatoires d'un jeu est une idée qui ne remonte qu'au XVIIème siècle!

Pascal et Fermat / Roulette et martingales / Peut-on faire fortune au casino?/ Le théorème de la ruine certaine / Le paradoxe de Saint-Pétersbourg / De l'impossibilité de quantifier le hasard / L'optimisation du choix / Le poker / Le poker est un jeu de hasard… et de stratégie / Topologie des mains de départ / Valeur de votre tapis: l'Independant Chip Model / Le théorème des cotes

Dossier 4 : Jeux de société, jeux dans la société

Vivre dans une société organisée suppose d'accepter des règles communes et de les respecter. De là à créer un monde fantastique dans lequel l'imaginaire va être mis à contribution, il n'y a qu'un pas, qui fait des jeux une composante essentielle de notre société.

De la persistance des règles de jeux / Le meilleur coup aux échecs / Le jeu de Hex / Enquête sur ka Récréation mathématique / L'awalé / Informatique et jeu / De la triche aux échecs / Le jeu de la vie / L'analyse rétrograde / Le glaive et la puce

Dossier 5 : Jeux et enjeux

On retrouve les jeux dans la modélisation de problèmes de la vie courante, qui gagneraient parfois à être reformulés et étudiés à l'aide de la théorie des jeux.

Les gendarmes et les voleurs / Jouez-vous des embouteillages / Jeux littéraires / Les finales aux échecs / A vous de jouer! / Solutions


Et toujours

en bref -note de lecture - jeux - problèmes - solutions

Parution: 06 - 2012

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Bib 45 - Maths et politique

SOMMAIRE


Dossier 1 : Mathématiques et pouvoir

"Gouverner, c'est prévoir" selon Émile de Girardin. L'art de la prévision étant régi par les mathématiques, on peut s'attendre à ce que les hommes d'État accordent grand crédit à cette discipline. Pourtant, les hommes politiques français des dernières années semblent fâchés avec les mathématiques, dont ils n'ont de cesse de diminuer l'influence dans l'enseignement.

La théorie des jeux pour modéliser la politique / Les révolutionnaires / Le principe de précaution / Quand mathématique rime avec politique / Pouvoir, mathématique et dérives mystiques / Astrologie et pouvoir / Jacques Attali, entre culture, mathématiques et pouvoir / La courbe de Plouffe / La logique de la Constitution / L'Académie des sciences, passerelle avec le pouvoir / L'homme moyen

Dossier 2 : Les élections

On pourrait croire que l'opinion des citoyens d'un pays démocratique s'exprime simplement par le biais des élections. Les choses sont beaucoup plus complexes. Quel que soit le système électoral, des choix techniques peuvent modifier considérablement le résultat des scrutins et conduire à d'étonnants paradoxes.

Modéliser les préférences / Les paradoxes du suffrage universel / Le paradoxe du vote / Intérêt collectif versus intérêt individuel / Ne pas se fier aux apparences / L'inaccessible idéal de la démocratie parfaite / L'élection dans les États fédéraux / Le découpage électoral : stratégie ou magouille? / Les jeux, Internet et les élections / Manipulations légales / Les algorithmes de la proportionnelle / La méthode de D'Hondt / Cryptographie et vote électronique

Dossier 3 : Statistiques et sondages

Les statistiques, discipline récente des mathématiques, sont omniprésentes dans le monde d'aujourd'hui. C'est à elles que le langage journalistique emprunte le plus de termes : moyenne, estimation, échantillon, expérience, test, sondage.
Ce sont justement aux sondages, un outil qui va bien au-delà de la simple mesure des opinions, que ce dossier s'intéresse en profondeur.

Le pouvoir relatif des statistiques / Une brève histoire des outils statistiques / Du budget des familles à l'indice des prix / 20 000 selon la police / Coup d'œil sur le recensement / Les Français paient-ils trop d'impôt’ / Les Français, les statistiques et les hôpitaux / La croissance de l'espérance de vie / Des cahiers de doléances aux sondages / Le sondage qui aurait toujours tort / Marges d'erreur et méthodes de redressement / "La transparence des sondages est une nécessité " / Méthode aléatoire et méthode des quotas / Laplace, le hasard et les lois universelles / Cette pièce est-elle truquée?

Dossier 4 : Retraites, assurances, impôts

Ce sont encore les statistiques qui président à la plupart des actes de la vie économique et politique : fixation des impôts ou des primes d'assurance, spéculations boursières, évolution des salaires, règles du départ à la retraire. Autant de domaines où les politiques ne peuvent faire abstraction des mathématiques.

Économie et politique, le fossé grandissant / Le problème des retraites et les comptes notionnels / Les primes d'assurance-vie / Mesurer la délinquance / Peut-on simplifier l'impôt’ / La courbe de Laffer : trop d'impôt tue l'impôt


Et toujours

en bref -note de lecture - jeux - problèmes - solutions

Parution: 09 - 2012

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Bib 44 - Matrices

SOMMAIRE


Dossier 1 : Systèmes linéaires et transformations géométriques

Les matrices, ce sont ces tableaux de nombres sur lesquels on peut définir des opérations naturelles. Ces objets algébriques permettent de modéliser naturellement les systèmes d'équation linéaires. Plus surprenant est leur rôle dans la description des transformations géométriques : les matrices leur ouvrent des horizons inattendus !

Espaces vectoriels : l'algèbre à l'assaut de la géométrie / Des matrices pour transformer / Le sens du déterminant / Transformations affines et points invariants / Systèmes linéaires et matrices / Comment rentrer dans le rang / Les nombres complexes comme ensemble de matrices / Le théorème de Cayley-Hamilton / Les fonctions homographiques

Dossier 2 : Réduction de matrices

Une matrice existe généralement sous différentes formes, ou plusieurs déguisements. Ainsi, pour pouvoir "lire" directement les propriétés d'une matrice. Il est utile de chercher la forme " la plus simple " qu'elle peut revêtir. Le pivot de Gauss en est un bon exemple : la nouvelle forme de la matrice ( triangulaire) permet une résolution immédiate d'un système linéaire.

Diagonaliser pour calculer les puissances d'une matrice / Le pivot de Gauss / Similitude et diagonalisation / Diagonalisation, géométrie et algèbre / La trigonalisation / Manipuler des matrices avec un tableur

Dossier 3 : Les matrices sont partout!

Que l'on soit ou non mathématicien, les matrices nous environnent. La planète Neptune a d'abord été découverte sur le papier, grâce à un proto-calcul matriciel, avant d'être effectivement observée. L'économie, l'actuariat et la finance sont friandes de matrices. L'électronique, l'informatique et toutes les sciences ne peuvent s'en passer. Il est temps d'apprendre à reconnaître ces objets!

Agrandir les images sans perdre en qualité / Partout en physique, des matrices / La trilatération / Les matrices actuarielles / Les tableaux entrées - sorties en économie / Matrices élémentaires en économie / Matrices et codes secrets / Les hommes préfèrent les grosses… matrices / Calculs matriciels en statistique multivariée / Les matrices d'Hadamard / Problèmes de géo-matrices

Dossier 4 : Des matrices et des jeux

Un grand nombre de jeux font intervenir des tableaux de nombres. Ainsi, derrière chaque jeu de grille logique, chaque sudoku, chaque carré magique se cache une matrice, souvent utile dans sa résolution. Mais les matrices se nichent parfois là où ne les attend pas : dans les jeux littéraires, l'écriture sous contraintes les a depuis longtemps déjà mises à contribution.

Les carrés magiques : des matrices comme les autres / Divertissements littéraires / Les matrices sudokus / Les matrices lumineuses du Light Out / Problèmes / Les carrés magiques / Solutions


Et toujours

en bref - problèmes - solutions

Parution: 03 - 2012

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Bib 43 - Maths et Chimie

SOMMAIRE


Editorial / La société d'Arcueil, au service des jeunes savants

Dossier 1 : Evolution et modèles

Nul ne peut ignorer aujourd'hui l'importance de la chimie dans le fondement de notre vie et de notre avenir. Car cette science est à la fois très ancienne et toute jeune. Ancienne par ses questionnements sur la matière et sur l'évolution du monde, jeune dans le développement de modèles prédictifs et explicatifs pertinents, dont les plus sophistiqués s'appuient sur des conceptions mathématiques d'une grande modernité.

Une petite histoire de la chimie mathématique / De la désintégration à l'embrassade / Le calcul, indispensable à l'expérience / La chimie mise en équation / Histoire et destinée du tableau de Mendeleïev / L'âge de la Terre / La découverte de Fourier : même le feu est régi par les nombres / La naissance de la chimie quantique / Une algèbre pour comprendre les structures électroniques des atomes et des molécules

Dossier 2 : Aux frontières de la physique

La chimie se partage avec la physique l'étude de la structure de la matière et des grandes lois qui régissent son comportement. Pas étonnant, donc, qu'un chimiste soit amené à jongler avec thermodynamique, mécanique quantique ou encore mécanique statistique. Structure atomique, liaisons, équilibres sont autant de notions fondamentales qui ne peuvent se comprendre sans l'éclairage des théories de la physique.

L'énergie chimique dans tous ses états / Diamants sur paillasse / Les mystères de l'entropie / L'homme qui valait deux Nobel / Les urnes d'Ehrenfest / La loi d'Arrhenius / Boltzmann et l'irréversibilité, une histoire de probabilité... / Pourquoi la glace flotte dur l'eau / Équilibres et réactions

Dossier 3 : Structures moléculaires et réactions

La chimie s'intéresse à la fois aux propriétés des molécules et à leurs transformations les unes en les autres. Elle nous mène donc de l'échelle microscopique, qui est celles des atomes constituant les édifices moléculaires, à celle, macroscopique, des réactions chimiques que nous observons. Que l'une soit la clé de la compréhension de l'autre, c'est là le grand secret du chimiste!

Cayley et le calcul des isomères chimiques / Un prix qui dynamite! / Le cristal, joyau de la nature, chef-d'oeuvre du chimiste / Le "démon" de Prigogine / Cristallographie et polyèdres : de Haüy à Fedorov / L'énigme de la chiralité / Le pH, les logarithmes et des cas limites / Structures cristalline ionique, constante de Madelung et énergie réticulaire / Les secrets mathématiques de l'équation de réaction / Les réactions oscillantes

Dossier 4 : La chimie de pointe, les enjeux, l'actualité

La chimie de demain sera-t-elle mathématique? Le décloisonnement des disciplines amène de plus en plus de scientifiques ( physiciens, mathématiciens, biologistes, informaticiens, astronomes, ingénieurs...) à la rencontre des problématiques des chimistes.

Chimie interstellaire / Contrôler les molécules / Les fractales en génie chimique : de biologie en technologie chimique et énergétique / Traquer la structure d'une protéine jusque dans l'espace réciproque / La pile en deux temps, trois mouvements / Des nanoparticules d'or pour optimiser nos ordinateurs’ / L'analyse en composantes principales, technique fondatrice de la chimiométrie

Et toujours

En bref - note de lecture - photomathons - jeux - problèmes - mathématiques récréatives - solutions

Parution: 11 - 2011

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Bib 42 - Mathématiques et biologie

Une sélection « Notes de lecture Tangente magazine »

Les mathématiques : outil fondamental des sciences du vivant ? C'est ce que suggèrent de nombreuses constatations : la présence dans la nature de structures mathématiques complexes (spirales, fractales, symétrie dans la nature...), les capacités cognitives des chimpanzés, les alvéoles des abeilles ou la géométrie complexe des toiles d'araignées...
Des modèles théoriques, validés par l'expérience, permettent d'appréhender de nombreux phénomènes biologiques complexes, tels les équilibres entre proies et prédateurs ou l'étude du comportement collectif des oiseaux et bancs de poissons.

Enfin, le séquençage des génomes et le fonctionnement du cerveau semblent eux aussi suggérer que les mathématiques, loin d'être le propre de l'homme, seraient en fait le propre du vivant.
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Parution: 09 - 2010

Hors-série - Les secrets du cube

Histoire et guide de résolution du plus célèbre des casse-têtes des temps modernes, le Rubik's Cube. Traduit de l'anglais, écrit par les plus grands spécialistes américains (il est coordonné pat Jerry Slocum), le livre est complété par des précisions d'auteurs français.

Une sélection « Notes de lecture Tangente magazine »

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Parution: 12 - 2010

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Bib 40 - Maths & géographie

SOMMAIRE


La forme de la terre histoire / L’IGN / Gauss et la cartographie / Distances / Mathématiques exotiques / Le GPS

Dossier 1 : Géographie physique

A l'heure où les modèles climatiques constituent un enjeu majeur, il n'est pas inutile de rappeler que les mathématiques jouent un rôle important dans l'explication de certains phénomènes naturels comme les marées, le vent ou encore les courants marins.

La longueur des fleuves / Les marées, phénomène complexe et fascinant / La nouvelle géographie / L’énigme de Samos / Vents et courants marins

Dossier 2 : Cartographie

L'art de la cartographie mobilise des tEchniques et des connaissances scientifiques très variées. Le cartographe doit être capable de projeter la représentation de la surface du globe sur une surface plane tout en conservant certaines contraintes géométriques ( longueur, angles ou distances ).

L’évolution des mesures / Géométriser la Terre / Le chemin du randonneur / Des projections à la carte / La France vue du train / Construction d'un globe terrestre / Les ondelettes, un outil sorti de terre

Dossier 3 : Topographie

L'homme parcourt le monde, conquiert, construit et s'interroge. Il veut mesurer et décrire le terre qu'il habite. Topographie, cartographie et géodésie sont liées à la géométrie et s'associent pour accéder au savoir. Les instruments évoluent, mais les questions restent les mêmes : apprécier une longueur, mesurer une surface, évaluer un relief...

Voyage en Topographie / Ceci n'est pas une sphère / Mesurer le Terre, qu'elle idée! / Les instruments du topographe / Mesurer du linéaire par de l'angulaire / La triangulation / Représenter le relief / Comment s'orienter vers la Mecque? / Faire le point en mer

Dossier 4 : Géographie humaine

Les enjeux politiques, démographiques, économiques, sociaux ou sociétaux de la géographie humaine sont colossaux. On le mesure à l'aune du débat sur les retraites qui n'épargne aucun pays dans le monde. Parmi les chiffres incontournables qui sont utilisés dans tous les modèles figurent les données démographiques.

L’espérance de vie / Les statistiques en France / Les femmes meurent deux fois moins que les hommes! / Le recensement / Autour de l'équation de Verhulst / De la dynamique des populations à la théorie du chaos / La loi de Zipf et la taille des agglomérations / Tout le monde ne s'appellera pas Martin! / Les aborigènes, une culture mathématique / La théorie des champs moyens

Et toujours

Problèmes - solutions - en bref - notes de lecture

Parution: 06 - 2010

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Bib 39 - Mathématiques discrètes et combinatoire

SOMMAIRE


De l'abaque au boulier / Racines grecques, boulets / Le mauchecar de la combinoraticenne

Dossier 1 : Dénombrements élémentaires

Dénombrer c'est bien plus que compter! Si l'on sait réciter en une monotone litanie la suite des entiers 1,2,3,4... jusqu'à l'épuisement, on ne connaît pas toujours les subtilités que recèlent les combinaisons, les arrangements, les permutations et autres dérangements.

De la théologie à la combinatoire moderne/ Dénombrements élémentaires / Dénombrer les mains au poker / Histoires de dérangements / Chemins faisant / Les nombres de Catalan (1) / La bijection pour dénombrer / Les permutations

Dossier 2 : Secrets et méthodes

Les outils mobilisés pour dénombrer sont parfois complexes : combien d'essais infructueux avant de trouver l'analogie ou la bijection lumineuse d'où va jaillir la solution! Quelques principes "magiques", simples et féconds, vont aider à manipuler les objets "discrets".

Le principe des tiroirs / Induction, récurrence et récursivité / Les nombres de Catalan (2) / Le crible de Poincaré / Les fonctions génératrices / Le principe de l'extremum

Dossier 3 : Graphes et optimisation

Que ce soit pour visualiser les positions gagnantes d'un jeu et découvrir les stratégies qui y mènent, ou pour optimiser un processus sous contrainte, la théorie des graphes s'avère souvent salutaire.

Le calcul booléen / Optimisation combinatoire / Le très discret groupe tétraédrique / La programmation en nombres entiers / La théorie des jeux / Mathématiques discrètes

Dossier 4 : Jouer avec la combinatoire

Par nature, les mathématiques discrètes sont facilement représentables : des grilles de sudoku aux problèmes de coloriage en passant par l'assemblage des pièces d'un puzzle, les interprétations visuelles et ludiques ne manquent pas pour décrire les propriétés du monde discret.

Problème de coloriages / Théorème des quatre couleurs / Les parallélépipèdes parfaits / Le rangement de ma boîte de cubes / Décomposition d'un carré / Guitarpèges / Un théorème qui tombe à Pick / Le stomachion d'Archimède

Dossier 5 : Problèmes de maths discrètes

L'histoire de l'analyse combinatoire et des mathématiques discrètes n'est pas ancienne, en comparaison avec celle de la géométrie ou de l'arithmétique. il en résulte qu'un grand nombre de problèmes sont récents, et pas toujours encore résolus.

La combinatoire hier et aujourd'hui / Combien existe-t-il de grilles de sudoku’

Et toujours

Preuves sans mots - jeux et problèmes - solutions

Parution: 02 - 2013

Bib 37 - Les algorithmes

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Dossier 1 : Les algorithmes dans l'histoire

Les algorithmes ne sont pas nés avec l'informatique. Par exemple, l'algorithme d'Euclide est vieux de plus de 2 000 ans! On trouve également des descriptions précises d'algorithmes dans la Chine ancienne, les algorithmes sont des objets mathématiques.

Mohammed al-Khwarizmi et son temps/ Aux racines de l'algorithme / Les algorithmes du secret : la cryptographie / Alan Turing et sa machine / Lady Augusta Ada King, comtesse de Lovelace

Dossier 2 : Algorithmes élémentaires et programmation

On rencontre de nombreux algorithmes dans l'histoire des mathématiques. De nos jours, les opérations manuelles auxquelles les algorithmes donnaient lieu ont laissé la place aux programmes informatiques.

De l'algorithme au langage de programmation/ Les bases de la programmation/ Les tests de primalité / L'algorithme de Babylone / Des algorithmes pour créer le hasard / Les fractions égyptiennes / Les mariages stables existent / Sous l'ordinateur, les booléens / N'abusons pas des organigrammes !/ Programmer l'algorithme d'Euclide

Dossier 3 : Algorithmes classiques et jeux

Les mathématiques ont donné naissance à une multitude d'algorithmes, dans tous les domaines : théorie des nombres, opérationnelle, théorie des graphes, mathématiques récréatives…

Équations récurrentes en finance / La programmation fonctionnelle / Gagner au jeu grâce au noyau d'un graphe / Le pivot de Gauss / L'algorithme du simplexe / La tour d'Hanoï / Comment explorer un labyrinthe ?

Dossier 4 : Limites et performances

Ce n'est pas du tout de savoir structurer un raisonnement répétitif à l'aide d'un algorithme. Il faut aussi prouver son efficacité et chercher à minimiser le nombre d'opérations qui vont intervenir dans son exécution, même si c'est l'ordinateur qui doit les effectuer.

Complexité et temps d'exécution / Veni, divisi, vici / Les algorithmes de tri / La programmation structurée / La magie de la récursivité / Itération et point fixe / La gloutonnerie appliquée à la compression / Codes correcteurs d'erreurs / La multiplication rapide

Et toujours

Notes de lecture - en bref - problèmes - solutions

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Bib 36 - Le cercle

SOMMAIRE


Dossier 1 : Cercles entre eux

Le cercle, ou la perfection faite courbe, est à l'origine de problèmes millénaires: décimales de 𝝅, constructions à la règle et au compas, quadratures… à l'origine d'invariants fascinants ( angles, inscrits, puissance d'un point…), le cercle n'a pas fini de nous faire rêver!

La mesure du cercle / Un théorème de Thalès ou de Pythagore ? / Cercles : des courbes qui ne manquent pas d'aire / Un invariant de Steiner / Les faisceaux de cercles / Des chaînes de théorèmes / Arcs -en-ciel / Constructions au compas seul

Dossier 2 : Catalogue de cercles

Dès que trois points ne sont pas alignés, ils sont sur un même cercle. On comprendra pourquoi les cercles "catalogués" sont souvent construits à partir de points remarquables s'un triangle. Les mathématiciens ont eu le temps d'en répertorier des milliers au cours de la longue histoire de cette figure mythique.

Le cercle inscrit dans un triangle / Quand on ne peut plus dire "Neuf points, c'est tout" / Le théorème des sept cercles / Le cercle osculateur / La formule de Brahmagupta / Les cercles de Villarceau / Le théorème du pivot

Dossier 3 : Droites et cercles

De nature apparemment différente, la droite et le cercle entretiennent des relations privilégiées. Comment tracer un cercle? Que nous apprend le cinquième postulat d'Euclide? Comment couper équitablement une pizza ? Si l'on sait tracer une droite sur un écran d'ordinateur, sait-on pour autant tracer un cercle?

Point(s) trop n'en faut / Des étoiles et des ronds / Tracé : de la droite au cercle / Enquête sur la lunule / Parts de pizza équitables / Contre l'aversion de l'inversion

Dossier 4 : Le cercle dans toutes ses dimensions

Des cercles aux formes inhabituelles en passant par les dimensions supérieures, petit tour d'horizon de variations autour du cercle. En général, elles donnent lieu à de remarquables représentation visuelles.

Les cercles du tore / Petit tour en polygonie / Les cercles de Manhattan / Le disque de Poincaré / Les fibrations de Hopf

Et toujours

Le cercle dans l'art - quand la quadrature du cercle … est possible! - le who's who des cercles - en bref - problèmes - solutions des problèmes

Bib 35 - Les transformations, de la géométrie à  l'art

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Dossier 1 : Les origines artistiques de la géométrie

Qui a inventé les notions de point, de ligne et de surface? Des arpenteurs, des artistes’ L'étude de la préhistoire des formes mathématiques bouscule les idées reçues.

Transformations géométriques, tout un art / Que voyons-nous dans l'eau’ / Image dans une boule de Noël / Transformations à l'âge de pierre / Réflexions sur le miroir / Découpages siamois / Projection et photographie / L'anamorphose

Dossier 2 : Le regard du mathématicien

À quoi servent les transformations géométriques en mathématiques’ La réponse se trouve dans le programme d'Erlangen. Les groupes de transformations structurent la géométrie en ses diverses branches : affine, métrique…

Les isométries / Les similitudes et les transformations affines / Les groupes, concrets et abstraits / La transformation du boulanger / Formes, déformations et invariances / Transformer, c'est gagner ! / Les formes du second degré / L'œil du topologue et le morphing / La projection centrale et l'homographie / La géométrie projective / L'inversion et l'arbelos / L'inversion et la chasse au lion / Coxeter, de la géométrie à l'art / Histoire de bouchons / Translater, c'est quarrer / Points et figures invariants / Formes des groupes d'ordre six

Dossier 3 : Transformer pour créer

Que ce soit pour représenter l'éloignement spatial dans un tableau à deux dimensions, pour payer une surface à l'aide d'un motif sans trou ni chevauchement, ou pour "tricoter" des entrelacs magnifiques mais complexes, on utilise une transformation!

Peintres et géomètres / Fuites et perspectives / La perspective cavalière / La géométrie descriptive / La géométrie des fortifications / Représenter et déformer un objet en 3D / Les "Imajustages" de Myriam Labadie / Calissons et perspectives / L'art de paver / Des groupes pour construire des pavages / Entrelacs


Et toujours

en bref - jeux et problèmes - solutions

Parution: 02 - 2009

Bib 34 - Les statistiques

Les statistiques sont omniprésentes dans notre vie quotidienne : résultats sportifs, recensements, quotas, loi des séries, sondages, élections... Elles font usage d'un grand nombre de données, qu'il faut recueillir, classer, traiter, interpréter. Avec elles, les mathématiques réalisent un va-et-vient continu entre la théorie et la confrontation avec la réalité. Sujettes à polémique depuis leurs premières utilisations, les statistiques continuent néanmoins à être invoquées, telles des oracles, pour expliquer ou prédire les phénomènes. En clair, elles fascinent toujours, malgré les erreurs dues aux inévitables incertitudes ou à leur mauvaise utilisation. elles restent au centre de nombreuses recherches qui devraient permettre de les utiliser à meilleur escient.

Parution: 10 - 2015

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Bib 30 - Histoire des maths de l'antiquité à  l'an 1000

Edition augmentée 2015
Comment sont nées les mathématiques ? Qui étaient les mathématiciens à l'origine ? Qu’ont-ils découvert ?... Cet ouvrage brosse un portrait universel de la naissance des mathématiques. La suite, "Histoire des maths de l'Antiquité à l'an 1000", est le thème d'un autre ouvrage, le best seller de la collection Bibliothèque Tangente (HS 10).

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Bib 29 - Leonhard Euler, un génie des lumières

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Dossier 1 : Euler dans son époque

Leonhard Euler est l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Sa renommée s'étendait dans toute l'Europe. Homme des Lumières, il correspondit avec la plupart des scientifiques de son époque et sa façon de poser et de résoudre les problèmes marqua le style de son temps.

Leonhard Euler (1707-1783) / Euler et la musique / Euler physicien / Euler, " blogueur " infatigable / Les lettres à une princesse d'Allemagne / Un nouveau style / Sur les pas d'Euler à Saint-Pétersbourg / Le mathématicien dévot et le libre penseur

Dossier 2 : Le mathématicien éclectique

Euler a posé et résolu une multitude de problèmes, et c'était aussi un grand découvreur de mathématiques. Ses travaux touchent l'analyse, l'arithmétique, la combinatoire, l'algèbre, la géométrie… Doté d'une grande intuition, il ne s'embarrassait pas toujours de vérifications rigoureuses : un calcul donnant des résultats conformes à l'expérience était considéré comme légitime!

Leonhard Euler, père de la combinatoire contemporaine / Un cercle de mathématiciens / La formule d'Euler / Géométrie du triangle : un joyau eulérien / Euler et la règle des signes / Équation normale d'une droite / Développements eulériens / Les angles d'Euler / La constante d'Euler / La méthode d'Euler / Les nombres de Mersenne / Les briques d'Euler / Le problème des quatre carrés / L'indicatrice d'Euler et ma cryptographie / La notion de fonction chez Euler

Dossier 3 : Le précurseur

Le génie d'Euler a notamment consisté à prolonger des concepts mathématiques existants ( il étendit par exemple l'exponentielle aux nombres complexes ) ou à proposer de nouvelles méthodes de calcul ou de résolution de problèmes connus. Ses travaux furent parfois l'amorce de théories développées bien après lui.

La formule magique des polyèdres / Comment Euler calculait / Probabilité arithmétique et / L'extension de l'exponentielle / Les équations différentielles linéaires / Euler et la fonction gamma / Le calcul des variations / Euler et les séries de Goldbach / La formule d'Euler-Maclaurin / Les nombres chez Euler / Fermat par Euler : intuition ou chance? / Les erreurs d'Euler

Dossier 4 : Les jeux et les problèmes de Leonhard Euler

Dans l'élaboration de son œuvre titanesque, le grand Euler n'a jamais négligé l'aspect ludique des mathématiques. Jeux, énigmes, problèmes amusants sont à l'origine de certaines de ses théories. Découvrons les problèmes ludiques les plus célèbres d'Euler : celui des ponts de Königsberg, qui inaugure la théorie des graphes, celui de la marche du cavalier sur l'échiquier, celui des rencontres, lié à la combinatoire, ou encore celui des 36 officiers…

La fibre ludique du grand Euler / Hasards, rencontres ou coïncidences / Le parcours du cavalier sur l'échiquier

Et toujours

En bref - bibliographie - jeux et problèmes - solutions

Parution: 09 - 2022

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Bib 28 - Maths et littérature éd 2022

Mathématiques et littérature… deux mondes que l’on voudrait opposer et qui pourtant s’observent, dialoguent, s’inspirent mutuellement.
D’Edgar Poe à Umberto Eco, de Lautréamont à Wislawa Szymborska, écrivains et poètes disent leur fascination pour les mathématiques, en émaillent leurs œuvres, chantent leur beauté dans leurs vers.
Avec Blaise Pascal, Lewis Carroll, Sofia Kovalewskaïa, Claude Berge, Douglas Hofstadter… on découvre que l’on peut être à la fois bon mathématicien et belle plume.
Et si l’arithmétique et la symétrie sculptent depuis toujours la poésie, oulipiens et autres tenants de l’écriture à contraintes ont plus récemment apporté la preuve que les mathématiques offrent de formidables outils de création littéraire.

Bib 27 - Le temps

Le temps…jamais concept ne fut à la fois si familier, aussi quotidien et aussi difficilement accessible. Il se lit sur notre visage, mais le mesurer avec précision met au défi l'inventivité humaine, depuis les cadrans solaires jusqu'aux fontaines atomiques, à la pointe de la recherche actuelle. Que l'on cherche à le dompter, à prévoir l'évolution des lois ou de systèmes, et c'est le chaos qui se dessine ! On a longtemps cru au temps absolu, 4e dimension indépendante, mais au fil des révolutions scientifiques, de la relativité de Galilée à celle d'Einstein, en passant par l'électromagnétisme, cette perception fut révisée pour donner naissance à l'espace-temps. Et même la course implacable du temps , en ligne droite du passé vers l'avenir, pourrait bien n'être qu'illusion.

Parution: 02 - 2013

Bib 26 - Cryptographie et codes secrets

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Dossier 1 : Le temps de l'artisanat

Au temps de César, changer A en D, B en E, C en F, etc., suffit à crypter un message. Un millénaire plus tard, Al Kindi trouve une méthode pour décrypter les chiffres ainsi obtenus. La méthode n'est perfectionnée qu'à la Renaissance par Blaise de Vigenère.

César et ses prédécesseurs / Affinité et codages / Les fréquences d'Al Kindi / Du code Vigenère à celui de Vernam / Le chiffre des nihilistes / Bijectivité, nombres et codages

Dossier 2 : L'ère industrielle

L'ère industrielle commence au XIXème siècle avec le code Morse, qui utilise d'abord le télégraphe avant de passer à la radio. Elle se poursuit au XXème siècle avec l'apparition de machines cryptographiques dont la plus célèbre s'appelait Enigma.

Le code Morse / Le Morse, par câbles et ondes / Les coïncidences de Friedman / Les rouages d'Enigma / Les mots probables de Turing

Dossier 3 : L'ère informatique

L'avènement de l'informatique a donné un nouveau visage à la cryptographie. Son origine : une lutte sans fin entre d'un côté, les concepteurs de systèmes informatisés, et de l'autre, les pirates et autres espions.

Le code DES / Le code RSA / RSA : les faiblesses d'un code mythique / La carte qui dit "oui" / Les codes qui se corrigent / Les Zips codent / Crypter avec une courbe / L'arithmétique de la cryptographie / Les anniversaires des briseurs de codes

Dossier 4 : Les protocoles cryptographiques

Que ce soient dans les terminaux de carte bleue, les cartes SIM de téléphones portables ou les formulaires de paiement sur Internet, des protocoles informatiques de sécurité sont utilisés. Ils garantissent l'identité des interlocuteurs lors de l'échange ainsi que l'intégrité des messages.

Ces protocoles qui nous protègent / La vérification des protocoles / Divers protocoles couramment utilisés en informatique / Signature électronique et hachage / Signature et authentification / SSL, le vigile d'Internet / Quand les quanta cachent

Et aussi

La stéganographie / L a stéganographie technique / Les argots / Sémaphores / AKS, l'algorithme efficace / Le code de la Bible / La Kabbale / Les codes barres décodés / Les codes QR, une autre dimension

Et toujours

En bref - notes de lecture - jeux et énigmes - problèmes - solutions

Bib 25 - Grands mathématiciens modernes

Poser des problèmes. Les résoudre. Découvrir des terres mathématiques inconnues. Les défricher. Lancer des ponts entre elles. Les grands mathématiciens modernes portent sur leur discipline un regard fait d’ouverture, de finesse et de profondeur. Ils l’ont marquée de leur empreinte, explorant parfois plusieurs domaines à la fois ou débordant même du cadre des mathématiques pour influencer d’autres sciences. Les générations qui leur ont succédé ont reconnu, et reconnaissent encore aujourd’hui, la fécondité de leurs travaux. Tangente leur rend hommage. Exceptionnellement, ce Hors-série contient aussi quatre conférences signées par des grands noms des mathématiques contemporaines : Alain Connes, Pierre-Louis Lions, Jean-Christophe Yoccoz, Don Zagier.

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Bib 24 - Le triangle

Trois points, trois cotés, trois angles…Le triangle est le plus simple des polygones. Pourtant, êtes vous sûr de bien le connaître ? Partez à la redécouverte de cette figure étudiée depuis l'Antiquité et qui fascine encore aujourd'hui. Thalès, Pythagore, Carnot…revisitez ses théorèmes célèbres ! Point de Fermat, droite de Simson, cercle d'Euler…voyagez parmi ses éléments remarquables !..

Parution: 11 - 2012

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Bib 22 - Équations algébriques

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A la recherche des inconnues

Partages et héritages amenaient déjà les Anciens à résoudre des équations sans le savoir. Au fil des siècles, la manière d'aborder les équations et leurs méthodes de résolution ne cessèrent d'évoluer.

Dossier 1 : Résolution exacte

De simples manipulations algébriques permettent de résoudre toutes les équations de degré au plus 4. C'est Galois qui établie l'impossibilité de poursuivre ces manipulations avec succès pour le degré 5.

Au temps du certificat d'études / A la recherche des racines évidentes / Les manipulations algébriques / Rafaele Bombelli / Cardan, Tartaglia et le troisième degré / L'équation du scribe Ahmes / Qu'est-ce qu'un groupe? / Évariste Galois / Le premier article de Galois / Les équations réciproques / L'impossibilité de Galois / Les équations sur le comptoir / L'esprit de l'escalier

Dossier 2 : Résolution géométrique ou graphique

La découverte du premier irrationnel remit en cause la représentation des grandeurs. Elle amena les Grecs à s'intéresser aux solutions d'équations constructibles à la règle et au compas.

Le premier irrationnel / Un problème d'algèbre à la règle et au compas / Le problème des deux échelles / Des équations, mais pas de calculs! / Les nombres constructibles / L'étoile en or / Les courbes à résoudre / Les abaques

Dossier 3 : Résolution numérique approchée

Faute de trouver à une équation des solutions rationnelles exactes, on peut en obtenir des approximations rationnelles très fines grâce à des méthodes itératives. La plus simple est la dichotomie. Quant à la méthode de Newton, elle a pris sa pleine puissance grâce aux ordinateurs.

Les lunettes itératives / Où sont les racines ? / Joseph-Louis Lagrange / Autour du théorème de Sturm / Des racines au goutte à goutte / Al Khwarizmi / L'équation du beau / François Viète / Quel est le taux effectif d'un emprunt’ / La méthode de Bairstow

Dossier 4 : Au-delà des équations

En cherchant à résoudre les équations algébriques, les mathématiciens firent des découvertes dépassant de loin ce domaine : les nombres complexes, la transcendance, la théorie de Galois et bien d'autres…


Jean le Rond d'Alembert / Les anneaux de polynômes / Les livres à équations / Le champ des complexes / Karl Friederich Gauss / Puiseux et les coefficients en t / Algébriques et transcendants

Dossier 5 : Énigmes policières, équations à problèmes

Bien des problèmes de mathématiques, célèbres ou pas, se ramènent à la résolution d'une ou plusieurs équations. Il en est de même des énigmes des romans policiers.
Diophante et ses équations / Pierre de Fermat / Le problème des boeufs du Soleil / Le crime en équation / Flair policier / L'hyperbole du crime / L'équation des prisons

Et toujours

En bref - notes de lecture - problèmes - solutions

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Bib 21 - Astronomie : la géométrie de l'univers

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Dossier 1 : L'Univers et son histoire

L'astronomie sera toujours, selon la phrase d'Évry Schatzman, " la plus ancienne et la plus neuve de toutes les sciences ". liée à Dieu, à la philosophie, aux mathématiques, aux autres sciences, elle est à la fois mère et sœur de tous les savoirs et de toutes les cultures. Mieux : ne serait-il pas la "science première " ?

Le système solaire / Vingt-cinq siècles d'astronomie / Tycho Brahé / Sciences et magie… étrange alchimie! / Cherchez le centre / Une main de fer dans un gant d'acier! Urbain Le Verrier / Les compteuses d'étoiles

Dossier 2 : Le mouvement

Les Anciens pensaient que tous les astres décrivaient des cercles autour d'une Terre immobile. Puis vinrent Copernic, Galilée, Kepler, Newton, Einstein… nous invitant à sans cesse repenser la manière dont se meuvent les objets de l'Univers les uns par rapport aux autres. Au cœur du mouvement, on découvrit des courbes merveilleuses : les coniques. Jamais las d'observer le ballet des objets célestes, on apprit aussi à le prévoir.

Des courbes célestes : les coniques / La loi des aires démontrée par Newton / Le principe de relativité / Les récurrences de Vénus / La mécanique des éclipses / Problème : le passage de Vénus

Dossier 3 : Mesurer le lointain

A quelle distance de nous se trouvent les étoiles et les planètes’ Comment mesurer ce qui est à peine visible à l'œil nu’ Au secours de l'astronomie, il y a d'abord la géométrie, qui offre d'ingénieuses méthodes de calcul. Enfin, les progrès de la science des astres sont indiscutablement liés à l'évolution des instruments de mesure.

Lunette ou télescope? / De Descartes aux télescope géants / La mesure des distances / La statistiques des étoiles / Le cycle stellaire

Dossier 4 : L'Astronomie aujourd'hui

Si l'astronomie est la ^plus ancienne des sciences, c'est aussi celle qui a progressé le plus au cours des vingt dernières années, davantage qu'en toute autre époque. Par ses conditions extrêmes, l'Univers est un laboratoire idéal pour le physicien, le chimiste… et offre un potentiel de découverte considérable.

Expérimenter la relativité / Les mathématiques cosmiques / Les planètes extrasolaires / Il manque de la matière dans l'univers

Et toujours

En bref - notes de lecture - problèmes

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Bib 20 - Les jeux mathématiques

Toujours étonnants, souvent pervers, les jeux mathématiques sont les défis que se lancent les hommes depuis la nuit des temps.

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Bib 19 - Maths et sports

Les liens entre les mathématiques et le sport sous tous ses aspects : technique, organisation, histoire....

Parution: 04 - 2004

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Bib 17 - Hasard et probabilités

Depuis l'époque de la "géométrie du hasard, les mathématiques ont développé des outils pour fonder cette impensable discipline : une théorie rationnelle, cohérente, qui rend compte de ce qui est par nature toujours fuyant et semble inaccessible à la raison.

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Bib 15 - La logique

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Dossier 1 : La logique élémentaire

Comment garantir qu'une argumentation est correcte, qu'aucun cercle vicieux ne s'immisce dans des propos qui se veulent justes’ La logique est née avec Aristote et, à lire ou entendre tous les raisonnements fallacieux présentés avec tout le sérieux du monde par certains, on comprend que la logique, même " élémentaire " , est un indispensable bagage pour tous les citoyens.

La logique d'Aristote / Lewis Carroll / Les règles de la déduction / La contraposition / La théorie des ensembles / Le moteur logique : l'implication / Le tiers exclu

Dossier 2 : Le projet de Hilbert

À partir du XIXème siècle, les mathématiciens se penchent sur les fondements de leur discipline et s'attachent à s'assurer de leur solidité. Au début du XXème siècle, tout s'écroule. De nouvelles découvertes viennent bouleverser des siècles de certitudes. Deux camps s'opposent alors : les "intuitionnistes " ou "constructivistes " , et les "formalistes " dont le chef de file est David Hilbert.

Le projet de Hilbert / Les machines de Turing / La chute de la maison Hilbert

Dossier 3 : Logique et informatique

Pour accomplir une tâche, une machine ne peut se fonder sur la logique humaine, celle qu'en nous utilisons pour les actions de la vie quotidienne. La logique mathématique est nécessaire, c'est pourquoi l'informatique en est née et a poussé à mieux discerner l'aspect syntaxique traitable par ordinateur et l'aspect sémantique réservé aux seuls être humains. Bien entendu, les taches mécanisables sont alors strictement limitées.
Mathématiquement, elles correspondent aux fonctions tout à la fois calculables et de complexité " raisonnable".

L'intelligence artificielle / Les circuits logiques / Calculabilité, décidabilité et complexité / Programmer la logique : le Prolog / Géométrie automatique / La logique floue / La correspondance de Curry-Howard / Syntaxe et sémantique

Dossier 4 : Jeux et paradoxes

La logique est un immense territoire ludique où les paradoxes titillent le bon sens, où les mots se prennent au jeu, où l'autoréférence nous entraîne dans ses labyrinthes et où Menteurs et Sorcières, Fous et Sages s'affrontent dans des joutes impitoyables.

Le vrai, le faux et l'indéterminé / Les énigmes d'Oedipeland / Raymond Smullyan / Les cocus de Bagdad / Le paradoxe de Hempel / En toute logique / La maison hantée / Le paradoxe du menteur / Raymond Devos, le forcené de la logique / Test d'aptitude autoréférentielle / Logic logique / Solutions


Et toujours < /b>

Notes de lecture